Переместительный закон примеры

Ранее мы говорили о порядке выполнения математических действий. Продолжим изучение математических законов и сегодня поговорим о следующем:

• о переместительном законе сложения;
• о сочетательном законе сложения;
• о переместительном законе умножения;
• о сочетательном законе умножения;
• о распределительном законе.

Переместительный закон сложения

У Маши 3 яблока, а у Миши 4. Сколько яблок у детей?

Для решения этой задачи надо сложить  вместе 3 Машиных яблока и 4 Мишиных:

3 + 4 = 7

Ответ: У детей 7 яблок.

А изменится ли ответ если яблоки складывать в другом порядке, то есть к 4 Мишиным прибавить 3 Машиных яблока?

4 + 3 = 7

Мы убедились, что не важно, в каком порядке складывать числа (слагаемые). Результат (сумма) будет одинаковым:

3 + 4 = 4 + 3 = 7

Это и есть переместительный закон сложения, он звучит так:

От перемены мест слагаемых сумма не меняется.

Сочетательный закон сложения

В двух коробках лежат фломастеры по 80 штук в каждой. В одну коробку положили ещё 23 фломастера. Сколько всего стало фломастеров?

Эту задачу можно решить следующим образом:

(80 + 23) + 80 = 183

или так:

80 + (80 + 23) = 183

Результат получается один и тот же:

(80 + 23) + 80 = 80 + (80 + 23) = 183

Отсюда следует важное правило вычислений:

Складывая несколько слагаемых, можно группировать их в любом порядке.

Переместительный закон умножения

Катя купила 5 булочек по 20 рублей, а Коля 20 булочек по 5 рублей. Кто заплатил больше денег?

Итак, вычислим, сколько заплатила Катя:

5 × 20 = 100

Теперь вычислим, сколько заплатил Коля:

20 × 5 = 100

Мы видим, что результат одинаковый. Катя и Коля заплатили одинаковые суммы.

В результате решения этой задачи мы убедились, что не важно, в каком порядке перемножать числа (множители), результат (произведение) получится один и тот же:

5 × 20 = 20 × 5 = 100

Это и есть переместительный закон умножения, он звучит так:

От перемены мест множителей произведение не меняется.

Сочетательный закон умножения

В упаковке 6 пакетов сока. В контейнер входит 10 таких упаковок. Сколько пакетов сока входит в 5 таких контейнеров.

Решим эту задачу, вычислим, сколько пакетов сока в контейнере, а затем в 5 контейнерах:

(6 × 10) × 5 = 300

Можно вычислить сначала, сколько упаковок в 5 контейнерах, а затем, сколько всего пакетов сока:

6 × (10 × 5) = 300

Как бы мы не считали, получаем одинаковый результат:

(6 × 10) × 5 = 6 × (10 × 5) = 300

Таким образом, мы убедились в справедливости сочетательного закона умножения:

Перемножая множители, можно их группировать в любом порядке.

Распределительный закон

Вспомним, как можно вычислить периметр прямоугольника, длина которого 28 дм, а ширина 16 дм. Попробуем это сделать разными способами.

Итак, мы знаем, что для вычисления периметра прямоугольника, надо сложить длины всех его сторон:

28 + 28 + 16 + 16 = 88

Учитывая то, что в прямоугольнике 2 длины и 2 ширины можно вычислить периметр следующим способом:

28 × 2 + 16 × 2 = 88

Но ведь можно сложить длину и ширину и умножить на 2:

( 28 + 16) × 2

Таким образом, мы убедились, что можно сначала сложить длину и ширину, а затем умножить на 2, или сначала удвоить длину и ширину, а затем их сложить:

( 28 + 16) × 2 = 28 × 2 + 16 × 2 = 88

Решая нашу задачу, мы доказали справедливость распределительного закона:

Чтобы умножить сумму на число, можно умножить каждое слагаемое на это число и потом сложить полученные произведения.

Решим ещё один пример:

(7 + 3) × 4

Значение данного выражения можно найти разными способами:

Выполнив действия по порядку:

(7 + 3) × 4 = 10 × 4 = 40

Или применив правило умножения суммы на число:

(7 + 3) × 4 = 7 × 4 + 3 × 4 = 28 + 12 = 40

В результате разных способов вычисления, мы получили одинаковый результат.

Спасибо, что Вы с нами.

Источник: http://beginnerschool.ru/gen_rules/matem-gen_rules/matematicheskie-zakonyi

Законы математики

В нашей жизни есть законы, которые надо соблюдать. Соблюдение законов гарантирует стабильность и гармоничное развитие. Несоблюдение же законов приводит к печальным последствиям.

У математики есть свои законы, которые тоже следует соблюдать. Несоблюдение законов математики приводит в лучшем случае к тому, что оценка учащегося снижается, а в худшем случае приводит к тому, что падают самолёты, зависают компьютеры, улетают крыши домов от сильного ветра, снижается качество связи и тому подобные нехорошие явления.

Законы математики состоят из простых свойств. Эти свойства нам знакомы со школы. Но не мешает вспомнить их ещё раз, а лучше всего записать или выучить наизусть.

В данном уроке мы рассмотрим лишь малую часть законов математики. Их нам будет достаточно для дальнейшего изучения математики.

Сочетательный закон сложения

Сочетательный закон сложения говорит о том, что результат сложения нескольких слагаемых не зависит от порядка действий. Этот закон позволяет группировать слагаемые для удобства их вычислений.

Рассмотрим сумму из трёх слагаемых:

2 + 3 + 5

Чтобы вычислить данное выражение, можно сначала сложить числа 2 и 3 и полученный результат сложить с числом 5. Для удобства сумму чисел 2 и 3 можно заключить в скобки, указывая тем самым, что эта сумма будет вычислена в первую очередь:

2 + 3 + 5 = (2 + 3) + 5 = 5 + 5 = 10

Либо можно сложить числа 3 и 5, затем полученный результат сложить с числом 2

2 + 3 + 5 = 2 + (3 + 5) = 2 + 8 = 10

Видно, что в обоих случаях получается один и тот же результат.

Таким образом, между выражениями (2 + 3) + 5 и 2 + (3 + 5) можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению:

(2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)

10 = 10

Запишем сочетательный закон сложения с помощью переменных:

(a + b) + c = a + (b + c)

Распределительный закон умножения

Распределительный закон умножения позволяет умножить сумму на число или число на сумму.

Рассмотрим следующее выражение:

(3 + 5) × 2

Мы знаем, что сначала надо выполнить действие в скобках. Выполняем:

(3 + 5) = 8

В главном выражении (3 + 5) × 2 выражение в скобках заменим на полученную восьмёрку:

8 × 2 = 16

Получили ответ 16. Этот же пример можно решить с помощью распределительного закона умножения. Для этого каждое слагаемое, которое в скобках, нужно умножить на 2, затем сложить полученные результаты:

Мы рассмотрели распределительный закон умножения слишком развёрнуто и подробно. В школе этот пример записали бы очень коротко. К такой записи тоже надо привыкать. Выглядит она следующим образом:

(3 + 5) × 2 = 3 × 2 + 5 × 2 = 6 + 10 = 16

Или ещё короче:

(3 + 5) × 2 = 6 + 10 = 16

Теперь запишем распределительный закон умножения с помощью переменных:

(a + b) × c = a × c + b × c

Давайте внимательно посмотрим на начало этого распределительного закона умножения. Начало у него выглядит так: (a + b) × c.

Если рассматривать выражение в скобках (a + b), как единое целое, то это будет множимое, а переменная с будет множителем, поскольку соединены они знаком умножения ×

Из переместительного закона умножения мы узнали, что если множимое и множитель поменять местами, то произведение не изменится.

Если множимое (a + b) и множитель c поменять местами, то получим выражение c × (a + b). Тогда получится, что мы умножаем переменную c на сумму (a + b). Для выполнения такого умножения, опять же применяется распределительный закон умножения. В данном случае переменную c нужно умножить на каждое слагаемое в скобках:

c × (a + b) = c × a + c × b

Пример 2. Найти значение выражения 5 × (3 + 2)

Умножим число 5 на каждое слагаемое в скобках и полученные результаты сложим:

5 × (3 + 2) = 5 × 3 + 5 × 2 = 15 + 10 = 25

Пример 3. Найти значение выражения 6 × (5 + 2)

Умножим число 6 на каждое слагаемое в скобках и полученные результаты сложим:

6 × (5 + 2) = 6 × 5 + 6 × 2 = 30 + 12 = 42

Если в скобках располагается не сумма, а разность, то сначала нужно умножить множимое на каждое число, которое в скобках. Затем из полученного первого числа вычесть второе число. В принципе, ничего нового.

Пример 4. Найти значение выражения 5 × (6 − 2)

Умножим 5 на каждое число в скобках. Затем из полученного первого числа вычтем второе число:

5 × (6 − 2) = 5 × 6 − 5 × 2 = 30 − 10 = 20

Пример 5. Найти значение выражения 7 × (3 − 2)

Умножим 7 на каждое число в скобках. Затем из полученного первого числа вычтем второе число:

7 × (3 − 2) = 7 × 3 − 7 × 2 = 21 − 14 = 7

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Найдите значение выражения, используя распределительный закон умножения: 3 × (7 + 8) = 3 × 7 + 3 ×­ 8 = 21 + 24 = 45 Задание 2. Найдите значение выражения, используя распределительный закон умножения: 5 × (6 + 8) = 5 × 6 + 5 × 8 = 30 + 40 = 70 Задание 3.

Найдите значение выражения, используя порядок выполнения действий:4 × (5 + 4) + 9 × (3 + 2) Задание 4.

Найдите значение выражения, используя распределительный закон умножения:4 × (5 + 4) + 9 × (3 + 2) 4 × (5 + 4) + 9 × (3 + 2) = 4 × 5 + 4 × 4 + 9 × 3 + 9 × 2 = 20 + 16 + 27 + 18 = 81 Задание 5.

Найдите значение выражения, используя распределительный закон умножения:16 × (2 + 7) + 5 × (4 + 1) 16 × (2 + 7) + 5 × (4 + 1) = 16 × 2 + 16 × 7 + 5 × 4 + 5 × 1 = 32 + 112 + 20 + 5 = 169

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу и начни получать уведомления о новых уроках

Источник: http://spacemath.xyz/zakoni_matematiki/

Переместительный и сочетательный законы умножения — Твой юрист

Рассмотрим эти свойства (законы) более подробно.

Переместительные законы также называются также коммутативными. Их смысл в том, что результат не меняется при перестановке слагаемых или сомножителей.

Переместительный (коммутативный) закон сложения : a + b = b + a . Сумма не меняется от перестановки её слагаемых.

Переместительный (коммутативный) закон умножения : a · b = b · a . Произведение не меняется от перестановки его сомножителей.

Сочетательные законы также называют ассоциативными. Их смысл в том, что результат не меняется при группировке слагаемых или сомножителей.

Сочетательный (ассоциативный) закон сложения : ( a + b ) + c = a + ( b + c ) = a + b + c . Сумма не зависит от группировки её слагаемых.

Сочетательный (ассоциативный) закон умножения : ( a · b ) · c = a · ( b · c ) = a · b · c . Произведение не зависит от группировки его сомножителей.

Распределительные законы также называют дистрибутивными. Их смысл для операции произведения заключается в том, что операцию произведения можно выполнить по частям – для каждого слагаемого, входящего во второй сомножитель.

Распределительный (дистрибутивный) закон умножения относительно сложения : c · ( a + b ) = c · a + c · b .

Также существует распределительный (дистрибутивный) закон умножения относительно вычитания : c · ( a – b ) = c · a – c · b .

Переместительные законы не действуют в отношении вычитания и деления, так как для этих операций порядок следования аргументов (уменьшаемое и вычитаемое, делимое и делитель) влияет на получаемый результат.

Разберем основные законы арифметики, которые иначе называют свойствами сложения и умножения.

От перемены мест слагаемых сумма не меняется.
(Значение суммы при перестановке слагаемых не меняется.)

Значение суммы не зависит от того, как сгруппированы слагаемые.
(Порядок выполнения действий при вычислении суммы не влияет на конечный результат.)

Обратите внимание, этот закон действует только, если все действия в примере сложение !

От перемены мест множителей произведение не меняется.
(Значение произведения при перестановке множителей не меняется.)

Значение произведения не зависит от того, как сгруппированы множители.
(Порядок выполнения действий при расчёте произведения не влияет на конечный результат.)

Чтобы сумму умножить на число, можно умножить на это число каждое из слагаемых, а затем сложить полученные произведения.

• 8 · (6 + 5) = 8 · 6 + 8 · 5 = 48 + 40 = 88

math-prosto.ru

Законы математики

В нашей жизни есть законы, которые надо соблюдать. Соблюдение законов гарантирует стабильность и гармоничное развитие. Несоблюдение же законов приводит к печальным последствиям.

У математики есть свои законы, которые тоже надо соблюдать. Несоблюдение законов математики в лучшем случае приводит к тому, что оценка учащегося снижается, а в худшем случае приводит к тому, что падают самолеты, зависают компьютеры, крыши домов улетают от сильного ветра, качество связи снижается, кто-то голодает, а кто-то жирует.

Законы математики состоят из простых свойств. Эти свойства возможно вам уже знакомы. Но не мешает вспомнить их еще раз, а лучше всего записать или выучить наизусть.

В данном уроке мы рассмотрим лишь малую часть законов математики. Их нам будет достаточно для дальнейшего изучения математики.

Переместительный закон сложения говорит о том, что от перестановки мест слагаемых сумма не изменяется. Действительно, прибавьте пятерку к двойке — получите семёрку. И наоборот, прибавьте двойку к пятерке — опять получите семёрку:

Если положить на одну чашу весов 10 килограмм яблок и на другую чашу так же положить 10 килограмм яблок, то весы выровняться, и не важно, что яблоки в пакетах лежат вразброс.

Если мы возьмём пакет с весов и перемешаем яблоки находящиеся в нем, словно шары в лотерейном мешке, пакет всё так же будет весить 10 килограмм. От перестановки мест слагаемых сумма не изменится.

Слагаемые в данном случае это яблоки, а сумма это итоговый вес.

Таким образом, между выражениями 5 +2 и 2 + 5 можно поставить знак равенства. Это будет означать, что их сумма будет равна

Полагаем что, вы изучили один из предыдущих уроков, который назывался выражения, поэтому мы без тени смущения запишем переместительный закон сложения с помощью переменных:

Записанное переместительное свойство сложения будет работать для любых чисел. Например, возьмем два любых числа пусть а=2 , b=3 . Мы присвоили переменным a и b значения 2 и 3 соответственно. Эти значения отправятся в главное выражение a+b=b+a и подставятся куда нужно. Число 2 подставится вместо а , число 3 место b

Законы умножения

Если множимое и множитель поменять местами, то произведение не изменится. Это можно легко проверить при подсчёте двумя способами числа звёздочек представленных на рисунке:

3 + 3 + 3 + 3 = 4 + 4 + 4

Так как множимое и множитель можно менять местами их ещё называют сомножителями или просто множителями.

Таким образом, для любых натуральных чисел a и b верно равенство:

выражающее переместительный закон умножения:

От перестановки сомножителей произведение не меняется.

Произведение чисел 3, 2 и 4 не изменится, если из них какие-нибудь два числа заменить их произведением:

3 · 2 · 4 = 3 · (2 · 4) = 3 · 8 = 24

3 · 2 · 4 = (3 · 2) · 4 = 6 · 4 = 24

Таким образом, для любых натуральных чисел a, b и c верно равенство:

выражающее сочетательный закон умножения:

Произведение не изменится, если какую-либо группу сомножителей заменить их произведением.

Распределительный закон умножения

Для любых натуральных чисел верны равенства:

выражающие распределительный закон умножения:

Чтобы число умножить на сумму чисел, можно это число умножить отдельно на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.

Чтобы сумму чисел умножить на число, можно каждое слагаемое отдельно умножить на число и полученные произведения сложить.

Распределительный закон умножения можно легко проверить при подсчёте двумя способами числа звёздочек, представленных на рисунке:

Первый: в каждом ряду расположено 3 жёлтых и 5 зелёных звёздочек, то есть всего в каждом ряду (3 + 5) звёздочек. В четырёх рядах всего (3 + 5) · 4 звёздочек.

Второй: жёлтые звёздочки расположены в четыре ряда по 3 звёздочки в каждом, то есть всего жёлтых звёздочек 3 · 4, а зелёных – 5 · 4. Всего звёздочек 3 · 4 + 5 · 4.

Кроме того, для любых натуральных чисел (если уменьшаемое больше или равно вычитаемому) верны равенства:

Например, 6 · (4 — 2) = 6 · 4 — 6 · 2.

Переход от умножения:

соответственно к сложению и вычитанию:

называется раскрытием скобок.

Переход от сложения и вычитания:

называется вынесением общего множителя за скобки.

naobumium.info

На данном уроке рассмотрена тема «Переместительный закон умножения». Мы узнаем о новом законе математики. В ходе решения этой задачи мы получим представление о переместительном законе умножения.

1. Решение задачи

Давайте прочитаем следующую задачу.

Стая уток отправилась на юг. Сначала утки летели 3 рядами по 4 птицы в каждом ряду. Но после остановки на отдых они полетели в 4 ряда по 3 утки в каждом ряду. Сколько всего птиц отправилось на юг?

Давайте сделаем краткую запись к этой задаче. Для наглядности представим каждую утку в виде круга. (Рис. 1)

Рис. 1. Иллюстрация к задаче

Мы помним, что до остановки на отдых утки летели 3 рядами по 4 птицы в каждом ряду. Давайте составим выражение, которое поможет нам узнать, сколько всего было уток. Мы видим, что число 4 повторяется 3 раза. (Рис. 1). Это значит, что мы можем воспользоваться умножением.

До остановки на отдых было 12 уток.

Утки отдохнули и полетели дальше на юг, но полетели они немного по-другому. Они полетели в 4 ряда, по 3 птицы в каждом ряду. Давайте это покажем. (Рис. 2).

Рис. 2. Иллюстрация к задаче

С помощью какого выражения мы можем узнать, сколько уток полетело дальше. Мы видим, что число 3 повторяется 4 раза. (Рис. 2). Какое выражение нам поможет сосчитать количество уток?

После остановки на отдых на юг полетело 12 уток.

Ответ задачи: 12 уток.

Что вы заметили во время решения этой задачи?

Вы увидели, что числа мы не изменяли, а только меняли местами. Результат от этого не изменился. Это значит, что переместительный закон можно применить не только к сложению, но и к умножению. Называться он будет переместительным законом умножения. Давайте попробуем его сформулировать, но перед этим вспомним, как называются числа при умножении.

При умножении числа называются множитель и произведение. (Рис. 3).

Рис. 3. Названия чисел при умножении

2. Переместительный закон умножения

От перестановки множителей произведение не изменяется.

Давайте выполним задание, используя переместительный закон умножения. (Рис. 4).

Нам нужно вставить в равенства пропущенные числа.

Перед нами числовые равенства. В них стоит знак «=». Это значит, что значения левой и правой части одинаковы. Давайте вспомним переместительный закон умножения. Он говорит о том, что от перестановки множителей произведение не меняется. Значит, для того, чтобы значение левой части первого выражения было равно значению правой части, мы должны вставить в равенство число 4. (Рис. 5).

Рис. 5. Переместительный закон умножения

3. Задания на переместительный закон умножения

Теперь посмотрим на второе равенство. Какого числа не хватает в нем?

Для того чтобы значение левой части и правой части было одинаковым, мы должны в это равенство добавить число 2. (Рис. 6).

Рис. 6. Переместительный закон умножения

На основании переместительного закона умножения у нас получились истинные равенства.

4. Итоги урока

На этом уроке мы познакомились с переместительным законом умножения.

Список литературы

• Александрова Э.И. Математика. 2 класс. – М.: Дрофа, 2004.
• Башмаков М.И., Нефёдова М.Г. Математика. 2 класс. – М.: Астрель, 2006.
• Дорофеев Г.В., Миракова Т.И. Математика. 2 класс. – М.: Просвещение, 2012.

Источник: https://historyblog.ru/peremestitelnyj-i-sochetatelnyj-za/