___________________________________________________________________
Определение 6.Вычитанием натуральных чисел аиbназывается операция «–» , удовлетворяющая условию: а – b = с, тогда и только тогда, когда b+ с = а.
или
Вычитанием натуральных чисел а и b называется операция по нахождению разности (а – b).
______________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________
Определение 7. Разностью натуральных чисел а и b называется число с (если оно существует), такое, что b + с = а.
______________________________________________________________________________________________
Символическая запись: а –b (с)а = с + b.
Число а называется уменьшаемым, число b – вычитаемым, число (а – b) – разностью.
Например:
-
Разностью чисел 7 и 3 будет число 4, т.к. 3 + 4 = 7. (7 – 3 = 4, т.к. 3 + 4 = 7).
-
Разность чисел 5 и 9 не существует, т.к. не существует натурального числа с, такого, что 9 + с = 5.
((5 – 9) –,т.к. (с)( 9 + с = 5).
Теорема 5. Разность натуральных чисел (а –b) существует тогда и только тогда, когда b< а.
Теорема 6. Если разность натуральных чисел аи bсуществует, то она единственна.
Пользуясь определением разности, можно доказать истинность следующих утверждений: (а + b) – а = b; (а + b) – b = а.
Исходя из определения разности натуральных чисел, и условия существования, можно объяснить известные правила вычитания.
Правило вычитания числа из суммы
s – c, где s = a + b >c
(a + b)– c = (a + b) – c = (a –c)+b, еслиa >c
a + (b – c) , еслиb >c
Число из суммы можно вычесть одним из трех способов:
• найти сумму (а + b) и из нее вычесть число с.
Например (11 + 8) – 13 = 19 -13 = 6;
• вычесть число из первого слагаемого и к полученному результату прибавить второе слагаемое.
Например (13 + 8) – 9 = (13 -9) + 8 = 4 + 8 = 12;
• вычесть число из второго слагаемого, и полученный результат прибавить к первому слагаемому.
Например (5 + 13) – 6 = 5 + (13 -6) = 5 + 7 = 12.
Правило вычитания суммы из числа
a – s , s = b + c,
a – (b + c)= (a – b) – c, если а >b + с
(a – c) – b
Сумму из числа можно вычесть одним из трех способов:
• найти сумму (b+ с), и полученный результат вычесть из числа a;
Например: 19 – (2 + 7) =19 – 9 = 10;
• из числа а вычесть первое слагаемое b, и из полученного результата (а – b) вычесть второе слагаемое с;
Например: 17 – (7 + 5) = (17 – 7) – 5 = 10 – 5 = 5;
• из числа а вычесть второе слагаемое и из полученного результата вычесть первое слагаемое;
Например: 13 – (5 + 3) = (13 – 3) – 5 = 10 – 5 = 5.
Правило вычитания суммы из суммы
S1 – S2, если S1=a + b, S2 = с + d и S1 S2
(а + b)-(с + d) = (а – с) + (b – d), если а > с, b >d;
(а – d) + (b – с), если а >d, b > с.
(7+ 8) – (4+ 9) = 15 – 13 = 2;
Например, (7 + 4) – (5 + 3) = (7 – 5) + (4 – 3) = 2 + 1 = 3;
(6 + 8) – (7 + 4) = (6 – 4) + (8 – 7) = 2 + 1 = 3.
______________________________________________________________________
Определение 8.Делением натуральных чисел а и b называется операция «:», удовлетворяющая условию: а: b = с тогда и только тогда, когда b с = а, или
Делением натуральных чисел а и b называется операция по нахождению частного а : b.
___________________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________
Определение 9.Частным натуральных чисел а и b называется число с, такое, что b с = а.
___________________________________________________________________________________________________
Символическая запись: а : b = с (с)b с = а.
Число а называется делимым, число b – делителем, число (а :b) – частным и число с – тоже частным.
Например:
-
Частным чисел 42 и 7 будет число 6, т.к. 7 6 = 42, (42 : 7 = 6, т.к. 7 6 = 42).
-
Частное чисел 15 и 7 не существует, т.к. не существует такого натурального числа с, что 7 с = 15, (15 : 7 – ;т.к. (сN с = 15).
Теорема 7. Для того чтобы существовало частное двух натуральных чисел а и b, необходимо, чтобы b< а.
Теорема 8. Если частное натуральных чисел а и bсуществует, то оно единственно.
Из определения частного следует истинность утверждения (а : b) b = а.
(Частное умножим на делитель – получим делимое).
Исходя из определения частного и условия его существования можно обосновать известные правила деления суммы, разности, произведения на число.
Источник: https://StudFiles.net/preview/1721499/page:19/
Вычитание натуральных чисел: правила, примеры и решения
Ранее мы изучали, что такое натуральные числа и какие существуют свойства для того, чтобы производить вычитание. В данной статье представлены основные правила, которые помогут нам выполнять вычитание натуральных чисел. Для того, чтобы информация была понятна и быстро запомнилась, мы снабдили теоретический материал подробно разобранными упражнениями и типичными примерами.
Как связаны сложение и вычитание
Сложение и вычитание тесно связаны. Вычитание – это действие, обратное для сложения. Чтобы усвоить эту информацию, следует рассмотреть подробный пример.
Представим, что в результате сложения предметов c и b, мы получаем предмет a. Исходя из основ сложение натуральных чисел, можно сделать вывод, что c+b=a.
Если мы воспользуемся переместительным свойством сложения, то сможем преобразовать полученное равенство как b+c=a. Делаем вывод, что если из а вычесть b, то останется c. Данное равенство a−b=c будет считаться справедливым.
По аналогии получаем, что, отняв от а число c, то останется b, то есть, a−c=b.
Благодаря примеру, который мы рассмотрели выше, можно сделать вывод, что если сумма чисел c и b равна a, то число c является разностью натуральных чиселси b, а число b – разностью чисел a и c. То есть, c=a−b и b=a−c, если c+b=a.
Преобразуем данное утверждение и получим важное правило.
Определение 1
Если сумма двух чисел c и b равна a, то разность a−c равна b, а разность a−b равна c.
Теперь мы можем отчетливо увидеть, что сложение и вычитание неразрывно связаны. Исходя из этого факта, можно вывести понятие.
Определение 2
Вычитание – это действие, с помощью которого находится одно слагаемое, когда известна сумма и другое слагаемое.
Данное определение зачастую применяется в различных примерах и задачах.
Как выполнять вычитание с помощью таблицы
Таблица сложения зачастую может быть использована для нахождения суммы двух чисел и для нахождения одного слагаемого в том случае, если известна сумма и другое слагаемое.
Рассмотрим данное утверждение на примере. Рассмотрим упражнение, в котором необходимо найти неизвестное слагаемое, если известно, что второе слагаемое равно 5, а сумма равна 8.
Это может быть выполнено двумя способами. Воспользуемся графической иллюстрацией, на которой известные числа выделены красным, а найденные – синим.
Рассмотрим несколько способов.
Первый способ. Необходимо найти строку в таблице, известное слагаемое расположено в крайней левой ячейке (берем известное число 5). После этого необходимо найти столбец, пересекающийся с найденной строкой в ячейке.
Эта строка должна содержать известную сумму (согласно примеру, число 8). Число, которое нам необходимо найти, расположено в верхней ячейке найденного столбца.
Делаем вывод, что число 3– это и есть искомое слагаемое.
Второй способ. Необходимо найти в таблице сложения столбец, в верхней ячейке которого располагается известное слагаемое. Находим строчку, пересекающуюся с известным столбцом в ячейке, который соответствует известной сумме. Делаем вывод, что слагаемое, которое требуется найти, расположено в крайней левой ячейке этой строки.
Так, как мы знаем, что сложение и вычитание тесно связаны, эта таблица может быть использована и для поиска разности натуральных чисел. Подробно рассмотрим данную теорию на примере.
Представим, что необходимо вычесть число 7 из числа 16. Делаем вывод, что вычитание сводится к нахождению числа, которое в сумме с числом 7 даст число 16. Воспользуемся использованной выше таблицей.
Вычтя из числа 16 число 7, получаем искомую разность 9.
Для того, чтобы пользоваться данной таблицей, рекомендуем заучить информацию и довести процесс нахождения чисел по таблице до автоматизма.
Как производить вычитание разрядов чисел
С помощью таблицы сложения, которую мы рассмотрели выше, можно вычитать десятки из десятков, сотни из сотен, тысячи из тысяч. Так, как мы легко можем работать с простыми числами, так, и по аналогии, можно вычитать десятки и сотни. Например, 6 сотен минус 2 сотни равно 4 сотням, то есть, 600−200=400. Также мы можем использовать таблицу и в других случаях.
Если вспомнить, что одна сотня – это 10 десятков, одна тысяча – это 10 сотен, то мы можем вычислять разность, десятков, сотен, тысяч и других чисел.
Рассмотрим пример.
Пример 2
Необходимо вычислить разность 100−70.
Преобразуем числа как десятки. Получаем десять десятков и семь десятков. Из таблицы сложения получаем 10−7=3, тогда разность 10 десятков и 7 десятков равна 3 десяткам, то есть, 100−70=30.
Пример 3
Необходимо вычислить разность 100 000−80 000.
Так как 100 000 – это 10 десятков тысяч, а 80 000 – это 8 десятков тысяч, а 10−8=2. Получаем, что 100 000−80 000=20 000.
Вычитание натурального числа из суммы чисел
Чтобы найти разность суммы двух чисел и числа, необходимо сначала вычислить сумму, из которого вычитается число. Чтобы упростить процесс вычитания, можно воспользоваться определенным свойством вычитания. Рассмотрим несколько примеров.
Пример 4
Необходимо вычесть из суммы 50+8 натуральное число 20.
Сумма 50+8 – это сумма разрядных слагаемых числа 58. Ищем варианты решения. Используем приведенное выше правило вычитания: так как 20
Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/dejstvitelnye-ratsionalnye-irratsionalnye-chisla/vychitanie-naturalnyh-chisel/