ГосЗакон

Правило умножения и деления положительных и отрицательных чисел

  • перед дробью;
  • в числителе;
  • в знаменателе.

    • При записи отрицательных дробей знак «минус» можно ставить перед дробью, переносить его из числителя в знаменатель или из знаменателя в числитель.Это часто используется при выполнении действий с дробями, облегчая вычисления.Пример. Обратите внимание, что после вынесения знака «минуса» перед скобкой мы из большего модуля вычитаем меньший по правилам сложения чисел с разными знаками.Используя описанное свойство переноса знака в дроби, можно действовать, не выясняя, модуль какого из данных дробных чисел больше.math-prosto.ru

    Содержание

    Умножение положительных и отрицательных чисел

    Умножение положительных и отрицательных чисел (то есть чисел с разными знаками) выполняется по следующему правилу:Чтобы перемножить два числа с разными знаками (положительное и отрицательное число), надо перемножить их модули и перед полученным произведением поставить знак «минус».Поскольку модуль положительного числа равен самому числу, модуль отрицательного числа равен противоположному числу, получаем:То есть произведение двух чисел, одно из которых положительное, а другое — отрицательное, является отрицательным числом.На практике при умножении чисел с разными знаками запись сокращают (модули находят устно):Рассмотрим на конкретных примерах, как умножают положительные и отрицательные числа.При умножении отрицательного числа на положительное получаем отрицательное число:2) Применяем правила умножения чисел с разными знаками и умножения десятичных дробей:По правилам умножения чисел с разными знаками и умножения дроби на натуральное число:Используем правила умножения положительных и отрицательных чисел и умножения дробей:По правилам умножения чисел с разными знаками и смешанных чисел:При умножении нескольких чисел с разными знаками знак результата зависит от количества входящих в произведение отрицательных чисел.При умножении двух отрицательных чисел получается положительное число. Поэтому если количество чисел со знаком «-» чётное, результат является числом положительным, если нечётное — отрицательным.www.for6cl.uznateshe.ru

    Умножение и деление отрицательных и положительных чисел ( 6 класс)

    Успейте воспользоваться скидками до 50% на курсы «Инфоурок»Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта «Инфоурок» и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!Описание презентации по отдельным слайдам:Урок на тему «Умножение и деление положительных и отрицательных чисел»( закрепление) МОБУ « Новочеркасская СОШ» учитель Булдакова Л.ПЦЕЛЬ: Повторить и обобщить правила умножения и деления положительных и отрицательных чисел; Развивать навыки счета;Устно решить 2 х 1,5 – 1,4 : (-0,2) – 3 х12 (-1) х (-7) 72 : (-2) 45:15Не выполняя вычислений, поставьте знаки >, , Булдакова Любовь Петровна

  • 1021
  • 20.11.2014

    • К учебнику: Математика. 6 класс. Зубарева И.И., Мордкович А.Г. 14-е изд., стер. — М.: 2014. — 264 с.К уроку: § 12. Умножение и деление положительных и отрицательных чиселНомер материала: 140142Свидетельство о публикации данного материала автор может скачать в разделе «Достижения» своего сайта.Не нашли то что искали?Вам будут интересны эти курсы:Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение редакции может не совпадать с точкой зрения авторов.Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако редакция сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.infourok.ru

    Правило на умножение и деление положительных и отрицательных чисел

    Действия с отрицательными и положительными числамиАбсолютная величина (модуль). Сложение.Вычитание. Умножение. Деление.Абсолютная величина ( модуль ). Для отрицательного числа – это положительное число, получаемое от перемены его знака с « – » на « + »; для положительного числаи нуля – само это число. Для обозначения абсолютной величины (модуля) числа используются две прямые черты, внутри которых записывается это число.П р и м е р ы : | – 5 | = 5, | 7 | = 7, | 0 | = 0.1) при сложении двух чисел с одинаковыми знаками складываютсяих абсолютные величины и перед суммой ставится общий знак.2) при сложении двух чисел с разными знаками их абсолютныевеличины вычитаются ( из большей меньшая ) и ставится знакчисла с большей абсолютной величиной.Вычитание.Можно заменить вычитание двух чисел сложением, при этом уменьшаемое сохраняет свой знак, а вычитаемое берётся с обратным знаком.( + 8 ) – ( + 5 ) = ( + 8 ) + ( – 5 ) = 3;( + 8 ) – ( – 5 ) = ( + 8 ) + ( + 5 ) = 13;( – 8 ) – ( – 5 ) = ( – 8 ) + ( + 5 ) = – 3;( – 8 ) – ( + 5 ) = ( – 8 ) + ( – 5 ) = – 13;Умножение.При умножении двух чисел их абсолютные величины умножаются, а произведение принимает знак « + » , если знаки сомножителей одинаковы, и знак « – » , если знаки сомножителей разные.Полезна следующая схема (правила знаков при умножении):При умножении нескольких чисел ( двух и более ) произведение имеет знак « + » , если число отрицательных сомножителей чётно, и знак « – » , если их число нечётно.Деление.При делении двух чисел абсолютная величина делимого делится на абсолютную величину делителя, а частное принимает знак « + » , если знаки делимого и делителя одинаковы, и знак « – » , если знаки делимого и делителя разные.Здесь действуют те жеправила знаков, что и при умножении:www.bymath.net

    Умножение и деление отрицательных чисел

    Теперь давайте разберемся с умножением и делением.Предположим, нам нужно умножить +3 на -4. Как это сделать?Давайте рассмотрим такой случай. Три человека залезли в долги, и у каждого по 4 доллара долга. Чему равен общий долг? Для того чтобы его найти, надо сложить все три долга: 4 доллара + 4 доллара + 4 доллара = 12 долларов. Мы с вами решили, что сложение трех чисел 4 обозначается как 3×4. Поскольку в данном случае мы говорим о долге, перед 4 стоит знак «-». Мы знаем, что общий долг равен 12 долларам, так что теперь наша задача имеет вид 3х(-4)=-12.Мы получим тот же результат, если по условию задачи каждый из четырех человек имеет долг по 3 доллара. Другими словами, (+4)х(-3)=-12. А поскольку порядок сомножителей значения не имеет, получаем (-4)х(+3)=-12 и (+4)х(-3)=-12.Давайте обобщим результаты. При перемножении одного положительного и одного отрицательного числа результат всегда будет отрицательным числом. Численная величина ответа будет той же самой, как и в случае положительных чисел. Произведение (+4)х(+3)=+12. Присутствие знака «-» влияет только на знак, но не влияет на численную величину.А как перемножить два отрицательных числа?К сожалению, на эту тему очень трудно придумать подходящий пример из жизни. Легко себе представить долг в сумме 3 или 4 доллара, но совершенно невозможно вообразить -4 или -3 человека, которые залезли в долги.Пожалуй, мы пойдем другим путем. В умножении при изменении знака одного из множителей меняется знак произведения. Если мы меняем знаки у обоих множителей, мы должны дважды сменить знак произведения, сначала с положительного на отрицательный, а затем наоборот, с отрицательного на положительный, то есть у произведения будет первоначальный знак.Следовательно, вполне логично, хотя немного странно, что (-3)х(-4)=+12.Положение знака при умножении изменяется таким образом:

    • положительное число х положительное число = положительное число;
    • отрицательное число х положительное число = отрицательное число;
    • положительное число х отрицательное число = отрицательное число;
    • отрицательное число х отрицательное число = положительное число.

      • Иначе говоря, перемножая два числа с одинаковыми знаками, мы получаем положительное число. Перемножая два числа с разными знаками, мы получаем отрицательное число.Такое же правило справедливо и для действия противоположного умножению – для деления.Вы легко можете в этом убедиться, проведя обратные операции умножения. Если в каждом из примеров, приведенных выше, вы умножите частное на делитель, то получите делимое, и убедитесь, что оно имеет тот же самый знак, например (-3)х(-4)=(+12).matemonline.com

Источник: http://aiki-group.ru/pravilo-na-umnozhenie-i-delenie-polozhi/

Сложение, вычитание, умножение и деление отрицательных чисел

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний и способов действий.

Форма проведения урока: пресс-конференция.

I. ОРГМОМЕНТ

– Мы изучили тему: «Положительные и отрицательные числа и действия с ними – сложение, вычитание, умножение и деление» и написали контрольную работу. К сожалению, не все учащиеся выполнили контрольную работу на «5». В ходе контрольной работы получено «5» – 4 ; «4» – 9; «3» – 7; «2» – 3.

Статистика результатов контрольной работы говорит о том, что у некоторых учащихся еще остались невыясненные вопросы по данной теме.

На сегодняшнем уроке, который пройдет в необычной форме – форме пресс-конференции, мы постараемся ответить на все вопросы, вызвавшие трудности при решении контрольной работы..

Итак, сегодня вы не просто ученики 6 класса, а сотрудники научно-исследовательского института, изучающие проблему положительных и отрицательных чисел, а некоторые из вас – ведущие журналисты известных изданий периодической печати.

В гости к нам пришли: (ученики встают и представляются )

– Ф.И _____- корреспондент физико-математического журнала «Квант» – Ф.И. _____- корреспондент журнала «Вокруг света» – Ф.И. _____- корреспондент журнала «Наука и техника» – Ф.И. _____- корреспондент журнала «Очевидное – невероятное» – Ф.И. _____- корреспондент газеты «Абитуриент»

– Ф.И. _____- корреспондент газеты «Тайны 20 века»

II. АКТУАЛИЗАЦИЯ ОПОРНЫХ ЗНАНИЙ

1. Устные упражнения

Учитель: 1 вопрос задает корреспондент журнала “Квант”

  • Какие теоретические основы лежат в изучении данной темы?

Учитель: Чтобы ответить на этот вопрос, мы должны вспомнить и рассказать определения и правила, необходимые для работы с положительными и отрицательными числами.

(ученики перечисляют и формулируют изученные правила и определения)

  • Определение положительных и отрицательных чисел,
  • Определение противоположных чисел,
  • Модуль числа,
  • Правила сравнения отрицательных чисел (+ и -; 0 и -; 0 и +; – и –; универсальный способ сравнения чисел),
  • Сложение отрицательных чисел,
  • Сложение чисел с разными знаками,
  • Вычитание отрицательных чисел – вычитание заменяем сложением с числом, противоположным вычитаемому.
  • Умножение чисел, деление чисел с разными знаками,
  • Деление отрицательных чисел.

2. Графический диктант

Учитель: А теперь проверим, все ли хорошо знают эти правила.

(проверка проходит в форме графического диктанта)

ГРАФИЧЕСКИЙ ДИКТАНТ ( в двух вариантах – 1 вариант – вопросы читает учитель, 2 вариант (для более сильных учащихся) – по карточкам)

Графический диктант №1

  1. Сумма любых двух противоположных чисел равна нулю.
  2. Из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль больше.
  3. Модуль любого числа всегда больше отрицательного числа.
  4. При сложении отрицательных чисел модули складываются
  5. Сумма двух отрицательных чисел – число положительное
  6. Целые числа состоят их положительных чисел и им противоположных.
  7. Если модули двух различных чисел равны, то сумма этих чисел равна нулю.
  8. При сложении положительного числа с отрицательным числом, число уменьшается.
  9. При умножении четного числа отрицательных множителей, произведение получается положительным.
  10. Если ׀а׀ = ׀ в׀ , то а=в

Для проверки переписать ответы на приготовленный листок и сдать, а результаты проверить самостоятельно с помощью шаблона, записанного на доске. У кого большое количество ошибок – выдать лист с ответами

Приложение 1

III. ОСНОВНОЙ ЭТАП УРОКА

3.Устные упражнения

  • Корреспондент журнала “Наука и техника” – В каких конкретных заданиях используются правила действий с отрицательными числами?

Учитель: Чтобы ознакомить наших гостей изучением и применением конкретно каких знаний мы работаем, я предлагаю решить следующую задачу: Распределить выражения, записанные на карточках, не выполняя вычислений, по группам – отрицательные и положительные числа.

(Карточки разложены на столе, ученики по очереди выходят, выбирают карточку, говорят в какую группу отнести ответ и почему. На доске на плакате написано “ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА”, “ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА”, “0” на карточках прикреплен скотч, ученики приклеивают к доске рядом с нужным плакатом).

1. –66 : 9,  2. –4,5 . (-4,5),  3. 7,3 . (-8),  4. 1 . (-3,5) . ( -3,8),  5 –4,5 . –4,5,  6. –11 .

(-18) . 142 . (-15),  7. –548,3 – (-305,4),  8. –8 + (-4),  9. –(-101) + 3,  10. –30 – (-30),  11. –115 + 115,  12. –31 – 12 + (-22),  13.

15 (-1),  14. 85 – (-85)

Приложение 2

Одновременно дается задание еще двум ученикам: Из чисел данного ряда составить верные числовые равенства: 13, -5, 1, -8, 3, -3, 4.

4. Индивидуальная работа у доски

  • Корреспондент газеты «Абитуриент» – Возможно, вопрос наш не совсем соответствует изучаемой сейчас вами темы, но не смогли бы вы на него ответить. В заданиях экзаменационных билетов для 9 класса есть такая задача: Весной на рынке стоимость огурцов каждую неделю снижается на 10%. Сначала недели цена килограмма огурцов была равна 50 рублей. Сколько будет стоить килограммогурцов через 17 дней? (у доски 1 ученик решает задачу самостоятельно)

5. Письменная работа (дифференцировано)

  • Корреспондент журнала «Вокруг света» – Кто придумал правила сложения и вычитанияположительных и отрицательных чисел?

Учитель: Чтобы ответить на этот вопрос, нужно верно решить следующие задания, ответ заменить соответствующей буквой и прочитать имена ученых.

( класс делится на две группы, одна группа работает у доски – более слабые ученики, допустившие ошибки в контрольной работе, 2 группа – сильные учащиеся, выполняют задание по карточкам)

Группа 1.

Вычислите:

1.-3· 1

2. -2,6 . (-3,4)

3. 4: (-3)

4. –135,2 : (-6,5)

5. 12 . (-5) : (-6) . (-1)

Решите уравнение: 6. (6х – 9) . (4х + 0,4) = 0

ДИОФАНТ

Вычислить:

1. (23,42 – 54) . (-4,12 + 4,04)

Решить уравнение:

2. (15у – 24) . (3у + ,09)

3. 4х = 3

Жирар

Учитель: Мы прочитали имена Диофант и Жирар. Кто эти люди, какое отношение они имеют к изучению отрицательных чисел, мы услышим из исторической справки. (Один ученик зачитывает историческую справку)

5А. Выступление ученика

ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА

Долгое время люди отрицательные числа считали несуществующими, «ложными». Этим числам сопоставлялись различные понятия, чтобы удобнее было осмыслить результаты действия с ними. Например, индийские математики Брамагупта и Бхаскара связывали положительные и отрицательные числа с понятиями «долг», «имущество»

Правила умножения, деления, сложения и вычитания были предложены в 3 веке греческим математиком Диофантом. Они звучали примерно так: «вычитаемое, умноженное на прибавляемое, дает вычитаемое», вычитаемое, умноженное на вычитаемое дает прибавляемое»

В 7 веке индийский математик Брамагупта правила сложения и вычитания отрицательных чисел выражал так: « сумма двух имуществ есть имущество», «сумма двух долгов есть долг».

О знаке результата, получаемого при умножении двух отличных от нуля чисел, известно и такое правило древних:

  1. «друг моего друга – мой друг» (+) (+) = (+)
  2. друг моего врага – мой враг (+) (-) = (-)
  3. враг моего друга – мой враг (-) (+) = (-)
  4. враг моего врага – мой друг. (-) (-) = (+)

И так было до 17 века, математики все еще не признавали отрицательных чисел, называли их «меньшими, чем ничто». Лишь в 17 веке голландский математик Жирар стал пользоваться отрицательными числами наравне с положительными. Так появились рациональные числа, которые состоят из целых и дробных положительных чисел, им противоположных отрицательных и нуля.

6. Задание для устного решения у доски

  1. Корреспондент журнала «Тайны 20 века» – в редакцию нашего журнала пришло письмо шестиклассника Пети Иванова, который пишет: «В математике принято числа обозначать буквами. Из определения модуля ясно, что модуль всегда число положительное, тогда как объяснить следующие равенство, найденные мной в учебнике: ׀т׀ = -т, т + ׀ т׀ = 0. Верны ли эти равенства?

Вызываются ученики, для объяснения данных равенств.

7. Задание для устного решения у доски

  1. Корреспондент журнала «Очевидное – невероятное» – Римский император Август родился в 63 году, а умер в 14 году. Как это может быть. Сколько полных лет прожил император, если в год своей смерти он успел справить свой день рождения?

( к доске вызывается один ученик решать данную задачу)
(76 лет)

IV. РЕФЛЕКСИЯ

Учитель: А теперь, когда вопросы исчерпаны, давайте подведем итоги.

Знания, которые усваивает человек, открывают ему с дверь к другим, новым знаниям и достижениям. И в зависимости от того, какие это знания – трудные или легкие, интересные или не очень, можно дать определение и той двери, которая перед нами открывается.

– тяжелая металлическая или наоборот, невесомая, легкая из картона. Будем считать, что действия с отрицательными числами мы изучили.

Трудно ли вам было, легко ли? Как для себя вы оцените эти знания, подберите наиболее соответствующее вашим ощущениям понятие – деревянная дверь, стеклянная дверь, металлическая дверь, потайная дверь, вращающаяся дверь, раздвижная дверь, салонная дверь, автоматически закрывающаяся дверь, входная дверь, топочная дверца печки, промежуточная дверь, передняя дверь, дверь черного хода, врата небесные, запасной выход, дверь с глазком, бронированная дверь, дверь в подвал, решетчатая дверь, зеркальная дверь, служебный вход, двери ада.

Приложение 3

V. ИТОГ УРОКА

Объявление оценок за урок.

VI. ИНФОРМАЦИЯ О ДОМАШНЕМ ЗАДАНИИ.

Домашнее задание дифференцированное, в форме тестов, записано на карточках.

Приложение 4

26.01.2009

Источник: https://urok.1sept.ru/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/518045/

Правила действий с отрицательными и положительными числами


п»ї

Абсолютной величиной (или абсолютным значением) отрицательного числа называется положительное число, получаемое от перемены его знака (-) на обратный (+). Абсолютная величина -5 есть +5, т. е. 5. Абсолютной величиной положительного числа (а также числа 0) называется само это число.

Знак абсолютной величины – РґРІРµ прямые черты, РІ которые заключается число, абсолютная величина которого берется. Например,

|-5| = 5, |+5| = 5,

| 0 | = 0.

Сложение чисел с одинаковым знаком

а) При сложении двух чисел с одинаковым знаком складываются их абсолютные величины и перед суммой ставится общий их знак.

Примеры. (+8) + (+11) = 19;

(-7) + (-3) = -10.

б) При сложении двух чисел с разными знаками из абсолютной величины одного из них вычитается абсолютная величина другого (меньшая из большей) а ставится знак того числа, у которого абсолютная величина больше.

Примеры. (-3) + (+12) = 9;

(-3) + (+1) = -2.

Вычитание (сложение) чисел с разными знаками

Вычитание одного числа из другого можно заменить сложением; при этом уменьшаемое берется со своим знаком, а вычитаемое с обратным.

Примеры. (+7) – (+4) = (+7) + (-4) = 3; (+7) – (-4) = (+7) + (+4) = 11; (-7) – (-4) = (-7) + (+4) = -3;

(-4) – (-4) = (-4) + (+4) = 0;

Замечание.

РџСЂРё выполнении сложения Рё вычитания, особенно РєРѕРіРґР° имеем дело СЃ несколькими числами, лучше всего поступать так: 
1) освободить РІСЃРµ числа РѕС‚ СЃРєРѕР±РѕРє, РїСЂРё этом перед числом поставить знак В« + В», если прежний знак перед СЃРєРѕР±РєРѕР№ был одинаков СЃРѕ знаком РІ СЃРєРѕР±РєРµ, Рё В« – В», если РѕРЅ был противоположен знаку РІ СЃРєРѕР±РєРµ;
2) сложить абсолютные величины всех чисел, имеющих теперь слева знак +;
3) сложить абсолютные величины всех чисел, имеющих теперь слева знак –;
4) из большей суммы вычесть меньшую и поставить знак, соответствующий большей сумме.

Пример. (-30) – (-17) + (-6) – (+12) + (+2); (-30) – (-17) + (-6) – (+12) + (+2) = -30 + 17 – 6 – 12 + 2; 17 + 2 = 19; 30 + 6 + 12 = 48; 48 – 19 = 29.

Результат есть отрицательное число -29, так как большая СЃСѓРјРјР° (48) получилась РѕС‚ сложения абсолютных величин тех чисел, перед которыми стоили РјРёРЅСѓСЃС‹ РІ выражении -30 + 17 – 6 -12 + 2. РќР° это последнее выражение можно смотреть Рё как РЅР° СЃСѓРјРјСѓ чисел -30, +17, -6, -12, +2, Рё как РЅР° результат последовательного прибавления Рє числу -30 числа 17, затем вычитания числа 6, затем вычитания 12 Рё, наконец, прибавления 2. Вообще РЅР° выражение Р° – b + СЃ – d Рё С‚. Рґ. можно смотреть Рё как РЅР° СЃСѓРјРјСѓ чисел (+Р°), (-b), (+СЃ), (-d), Рё как РЅР° результат таких последовательных действий: вычитания РёР· (+Р°) числа (+b) , прибавления ( +c), вычитании ( +d) Рё С‚. Рґ.

Умножение чисел с разными знаками

При умножении двух чисел умножаются их абсолютные величины и перед произведением ставится знак плюс, если знаки сомножителей одинаковы, и минус, если они разные.

Схема (правило знаков при умножении):

Примеры. ( + 2,4) * (-5) = -12;  (-2,4) * (-5) = 12;  (-8,2) * (+2) = -16,4.

При перемножении нескольких сомножителей знак произведения положителен, если число отрицательных сомножителей четно, и отрицателен, если число отрицательных сомножителей нечетно.

Примеры. (+1/3) * (+2) * (-6) * (-7) * (-1/2) = -14 (три отрицательных сомножителя);

(-1/3) * (+2) * (-3) * (+7) * (+1/2) = 7 (два отрицательных сомножителя).

Деление чисел с разными знаками

При делении одного числа на другое делят абсолютную величину первого на абсолютную величину второго и перед частным ставится знак плюс, если знаки делимого и делителя одинаковы, и минус, если они разные (схема та же, что для умножения).

Примеры. (-6) : (+3) = -2; (+8) : (-2) = -4; 

(-12) : (-12) = + 1.

Источник: http://www.maths.yfa1.ru/algebra.php?id=4

Умножение и деление положительных и отрицательных чисел

Правило умножения отрицательных чисел:

Замечание 1

Для умножения двух отрицательных чисел нужно выполнить умножение их модулей.

Согласно правилу можно записать:

$(−a) \cdot (−b)=a \cdot b$,

где $a$ и $b$ – положительные действительные числа.

Из правила умножения следует, что результатом произведения двух отрицательных чисел является положительное число.

Правило умножения справедливо для целых, рациональных и действительных чисел.

Пример 1

Выполнить умножение двух отрицательных чисел $−8$ и $−11$.

Решение.

Найдем модули данных чисел:

$|-8|=8$;

$|-11|=11$.

Произведение модулей равно $8 \cdot 11=88$.

Краткая запись решения:

$(−8) \cdot (−11)= 8 \cdot 11=88$.

Ответ: $(−8) \cdot (−11)=88$.

Замечание 2

Для умножения отрицательных рациональных чисел необходимо числа преобразовать к виду смешанных чисел, обыкновенных или десятичных дробей.

Умножение чисел с противоположными знаками

Правило умножения чисел с разными знаками:

Замечание 3

Для умножения чисел с противоположными знаками необходимо выполнить умножение чисел и перед полученным значением поставить знак $«–»$.

Согласно данному правилу можно записать:

$a \cdot (−b)=−(|a| \cdot |b|)$,

$(−a) \cdot b=−(|a| \cdot |b|)$,

где $a$ и $b$ – положительные действительные числа.

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Данное правило умножения чисел с противоположными знаками применяется для целых, рациональных и действительных чисел.

Согласно рассмотренному правилу умножение чисел с противоположными знаками сводится к выполнению умножения положительных чисел.

Пример 2

Выполнить умножение положительного числа $7$ и отрицательного числа $–12$.

Решение.

Согласно правилу умножения чисел с противоположными знаками сначала выполним умножение модулей данных чисел:

$|7|=7$;

$|-12|=12$;

$7 \cdot 12=84$.

Поставим знак $«–»$ перед полученным значением и получим $−84$.

Краткая запись решения:

$7 \cdot (–12)=−(7 \cdot 12)=−84$.

Ответ: $7 \cdot (–12)=−84$.

Замечание 4

Для умножения дробных чисел с противоположными знаками необходимо преобразовать данные числа к удобному виду: обыкновенных или десятичных дробей.

Деление отрицательных чисел

Правило деления отрицательных чисел:

Замечание 5

Для деления одного отрицательного числа на другое необходимо выполнить деление модулей данных чисел.

Согласно данному правилу можно записать:

$a:b=|a|:|b|$,

где $a$ и $b$ – отрицательные числа.

Правило выполняется для целых, рациональных и действительных чисел.

Согласно правилу деление отрицательных чисел сводится к делению положительных чисел. Таким образом, в результате деления отрицательных чисел получается положительное число.

Правило деления отрицательных чисел для рациональных и действительных чисел можно сформулировать следующим образом:

Замечание 6

Для деления числа $a$ на число $b$ необходимо выполнить умножение числа $a$ на число $b{−1}$, которое является обратным числу $b$:

$a:b=a \cdot b{−1}$.

Данное правило применимо для выполнения деления чисел с противоположными знаками.

Пример 3

Разделить отрицательные числа $−24$ и $−6$.

Решение.

Согласно правилу деления отрицательных чисел найдем модули данных чисел и выполним их деление. Получим:

$|-24|=24$;

$|-6|=6$;

$24:6=4$.

Краткая запись решения:

$(–24):(–6)=|–24|:|–6|=24:6=4$.

Ответ: $(–24):(–6)=4$.

Замечание 7

Для выполнения деления дробных рациональных чисел для удобства нужно преобразовать их к виду обыкновенных дробей, но можно делить и десятичные дроби.

Деление чисел с противоположными знаками

Правило деления чисел с противоположными знаками:

Замечание 8

Для деления положительного числа на отрицательное или отрицательного числа на положительное необходимо выполнить деление модулей данных чисел и перед полученным значением поставить знак $«–»$.

Согласно данному правилу можно записать:

$a:(–b)=−|a|:|–b|$,

$(–a):b=−|–a|:|b|$.

Из данного правила следует, что в результате деления чисел с противоположными знаками получается отрицательное число.

Согласно правилу деления чисел с противоположными знаками деление чисел сводится к делению положительных чисел.

Правило деления рациональных и действительных чисел с противоположными знаками можно сформулировать следующим образом:

Замечание 9

Для деления чисел $a$ и $b$ необходимо выполнить умножение числа $a$ на число $b{−1}$, которое обратно числу $b$:

$a:b=a \cdot b{−1}$.

Данное правило применимо для деления отрицательных чисел.

Пример 4

Разделить положительное число $28$ на отрицательное число $–7$.

Решение.

Согласно правилу деления чисел с противоположными знаками найдем модули данных чисел и выполним их деление:

$|28|=28$;

$|-7|=7$;

$28:7=4$.

Поставим знак $«–»$ перед полученным значением и получим $–4$.

Краткая запись решения:

$28:(–7)=-|28|:|-7|=-(28:7)=-4$.

Ответ: $28:(–7) = –4$.

Замечание 10

Для деления дробных рациональных чисел с противоположными знаками числа удобнее представлять в виде обыкновенных дробей.

Источник: https://spravochnick.ru/matematika/racionalnye_chisla/umnozhenie_i_delenie_polozhitelnyh_i_otricatelnyh_chisel/

Умножение дробей с разными знаками. Умножение и деление отрицательных чисел

В этой статье мы разберемся с умножением чисел с разными знаками. Здесь мы сначала сформулируем правило умножения положительного и отрицательного числа, обоснуем его, а после этого рассмотрим применение данного правила при решении примеров.

Навигация по странице.

Правило умножения чисел с разными знаками

Умножение положительного числа на отрицательное, а также отрицательного на положительное, проводится по следующему правилу умножения чисел с разными знаками: чтобы умножить числа с разными знаками, надо умножить , и перед полученным произведением поставить знак минус.

Запишем данное правило в буквенном виде. Для любого положительного действительного числа a и действительного отрицательного числа −b справедливо равенство a·(−b)=−(|a|·|b|), а также для отрицательного числа −a и положительного числа b справедливо равенство (−a)·b=−(|a|·|b|).

Правило умножения чисел с разными знаками полностью согласуется со свойствами действий с действительными числами.

Действительно, на их основе несложно показать, что для действительных и положительных чисел a и b справедлива цепочка равенств вида a·(−b)+a·b=a·((−b)+b)=a·0=0, которая доказывает, что a·(−b) и a·b – противоположные числа, откуда следует равенство a·(−b)=−(a·b). А из него следует справедливость рассматриваемого правила умножения.

Следует отметить, что озвученное правило умножения чисел с разными знаками справедливо как для действительных чисел, так и для рациональных чисел и для целых чисел . Это следует из того, что действия с рациональными и целыми числами обладают теми же свойствами, которые использовались при доказательстве выше.

Понятно, что умножение чисел с разными знаками по полученному правилу сводится к умножению положительных чисел.

Осталось лишь рассмотреть примеры применения разобранного правила умножения при умножении чисел с разными знаками.

Примеры умножения чисел с разными знаками

Разберем решения нескольких примеров умножения чисел с разными знаками. Начнем с простого случая, чтобы сосредоточиться на шагах правила, а не на вычислительных сложностях.

Пример.

Выполните умножение отрицательного числа −4 на положительное число 5.

Решение.

По правилу умножения чисел с разными знаками нам сначала нужно перемножить модули исходных множителей. Модуль −4 равен 4, а модуль 5 равен 5, а умножение натуральных чисел 4 и 5 дает 20. Наконец, осталось поставить знак минус перед полученным числом, имеем −20. На этом умножение завершено.

Кратко решение можно записать так: (−4)·5=−(4·5)=−20.

Ответ:

(−4)·5=−20.

При умножении дробных чисел с разными знаками нужно уметь выполнять умножение обыкновенных дробей , умножение десятичных дробей и их комбинаций с натуральными и смешанными числами.

Пример.

Проведите умножение чисел с разными знаками 0,(2) и .

Решение.

Выполнив перевод периодической десятичной дроби в обыкновенную дробь , а также выполнив переход от смешанного числа к неправильной дроби , от исходного произведения мы придем к произведению обыкновенных дробей с разными знаками вида . Это произведение по правилу умножения чисел с разными знаками равно . Осталось лишь перемножить обыкновенные дроби в скобках, имеем .

Ответ:

.

Отдельно стоит сказать об умножении чисел с разными знаками, когда один или оба множителя являются

Теперь давайте разберемся с умножением и делением.

Предположим, нам нужно умножить +3 на -4. Как это сделать?

Давайте рассмотрим такой случай. Три человека залезли в долги, и у каждого по 4 доллара долга. Чему равен общий долг? Для того чтобы его найти, надо сложить все три долга: 4 доллара + 4 доллара + 4 доллара = 12 долларов.

Мы с вами решили, что сложение трех чисел 4 обозначается как 3×4. Поскольку в данном случае мы говорим о долге, перед 4 стоит знак «-».

Мы знаем, что общий долг равен 12 долларам, так что теперь наша задача имеет вид 3х(-4)=-12.

Мы получим тот же результат, если по условию задачи каждый из четырех человек имеет долг по 3 доллара. Другими словами, (+4)х(-3)=-12. А поскольку порядок сомножителей значения не имеет, получаем (-4)х(+3)=-12 и (+4)х(-3)=-12.

Давайте обобщим результаты. При перемножении одного положительного и одного отрицательного числа результат всегда будет отрицательным числом. Численная величина ответа будет той же самой, как и в случае положительных чисел. Произведение (+4)х(+3)=+12. Присутствие знака «-» влияет только на знак, но не влияет на численную величину.

А как перемножить два отрицательных числа?

К сожалению, на эту тему очень трудно придумать подходящий пример из жизни. Легко себе представить долг в сумме 3 или 4 доллара, но совершенно невозможно вообразить -4 или -3 человека, которые залезли в долги.

Пожалуй, мы пойдем другим путем. В умножении при изменении знака одного из множителей меняется знак произведения. Если мы меняем знаки у обоих множителей, мы должны дважды сменить знак произведения, сначала с положительного на отрицательный, а затем наоборот, с отрицательного на положительный, то есть у произведения будет первоначальный знак.

Следовательно, вполне логично, хотя немного странно, что (-3)х(-4)=+12.

Положение знака при умножении изменяется таким образом:

  • положительное число х положительное число = положительное число;
  • отрицательное число х положительное число = отрицательное число;
  • положительное число х отрицательное число = отрицательное число;
  • отрицательное число х отрицательное число = положительное число.

Иначе говоря, перемножая два числа с одинаковыми знаками, мы получаем положительное число. Перемножая два числа с разными знаками, мы получаем отрицательное число.

Такое же правило справедливо и для действия противоположного умножению – для .

Вы легко можете в этом убедиться, проведя обратные операции умножения. Если в каждом из примеров, приведенных выше, вы умножите частное на делитель, то получите делимое, и убедитесь, что оно имеет тот же самый знак, например (-3)х(-4)=(+12).

Поскольку скоро зима, то пора уже подумать о том, в что переобуть своего железного коня, что бы не скользить по льду и чувствовать себя уверено на зимних дорогах. Можно, например, взять шины йокогама на сайте: mvo.ru или какие-то другие, главное, что бы качественный, больше информации и цены вы можете узнать на сайте Mvo.ru.

В данной статье дается подробный обзор деления чисел с разными знаками. Сначала приведено правило деления чисел с разными знаками. Ниже разобраны примеры деления положительных чисел на отрицательные и отрицательных чисел на положительные.

Навигация по странице.

Правило деления чисел с разными знаками

В статье деление целых чисел было получено правило деления целых чисел с разными знаками . Его можно распространить и на рациональные числа , и на действительные числа , повторив все рассуждения из указанной статьи.

Итак, правило деления чисел с разными знаками имеет следующую формулировку: чтобы разделить положительное число на отрицательное или отрицательное число на положительное, надо делимого разделить на модуль делителя, и перед полученным числом поставить знак минус.

Запишем это правило деления с помощью букв. Если числа a и b имеют разные знаки, то справедлива формула a:b=−|a|:|b|.

Из озвученного правила понятно, что результатом деления чисел с разными знаками является отрицательное число. Действительно, так как модуль делимого и модуль делителя есть положительнее числа, то их частное есть положительное число, а знак минус делает это число отрицательным.

Отметим, что рассмотренное правило сводит деление чисел с разными знаками к делению положительных чисел.

Можно привести другую формулировку правила деления чисел с разными знаками: чтобы разделить число a на число b, нужно число a умножить на число b −1, обратное числу b. То есть, a:b=a·b −1.

Это правило можно использовать, когда есть возможность выходить за пределы множества целых чисел (так как далеко не каждое целое число имеет обратное). Иными словами, оно применимо на множестве рациональных, а также на множестве действительных чисел.

Понятно, это правило деления чисел с разными знаками позволяет от деления перейти к умножению.

Это же правило используется при делении отрицательных чисел .

Осталось рассмотреть, как данное правило деления чисел с разными знаками применяется при решении примеров.

Примеры деления чисел с разными знаками

Рассмотрим решения нескольких характерных примеров деления чисел с разными знаками, чтобы усвоить принцип применения правил из предыдущего пункта.

Пример.

Разделите отрицательное число −35 на положительное число 7.

Решение.

Правило деления чисел с разными знаками предписывает сначала найти модули делимого и делителя. Модуль числа −35 равен 35, а модуль числа 7 равен 7.

Теперь нам нужно разделить модуль делимого на модуль делителя, то есть, надо разделить 35 на 7. Вспомнив, как выполняется деление натуральных чисел , получаем 35:7=5.

Остался последний шаг правила деления чисел с разными знаками – поставить минус перед полученным числом, имеем −5.

Вот все решение: .

Можно было исходить из другой формулировки правила деления чисел с разными знаками. В этом случае сначала находим число, обратное делителю 7. Этим числом является обыкновенная дробь 1/7. Таким образом, . Осталось выполнить умножение чисел с разными знаками : . Очевидно, мы пришли к такому же результату.

Ответ:

(−35):7=−5.

Пример.

Вычислите частное 8:(−60).

Решение.

По правилу деления чисел с разными знаками имеем 8:(−60)=−(|8|:|−60|)=−(8:60). Полученному выражению соответствует отрицательная обыкновенная дробь (смотрите знак деления как черта дроби), можно провести сокращение дроби на 4, получаем .

Запишем все решение кратко: .

Ответ:

.

При делении дробных рациональных чисел с разными знаками их обычно делимое и делитель представляют в виде обыкновенных дробей. Это связано с тем, что с числами в другой записи (например, в десятичной) не всегда удобно выполнять деление.

Пример.

Решение.

Модуль делимого равен , а модуль делителя равен 0,(23). Чтобы провести деление модуля делимого на модуль делителя, перейдем к обыкновенным дробям.

Осуществим перевод смешанного числа в обыкновенную дробь : , а также переведем периодическую десятичную дробь в обыкновенную дробь : .

Таким образом, .

Источник: https://childer.ru/multiplication-of-fractions-with-different-signs-multiplication-and-division-of-negative-numbers.html

Об авторе

Здравствуйте! На страницах своего журнала я собираю интересную и любопытную информацию из разных источников в интернете, обрабатываю, проверяю и выкладываю. Если вы видите ошибки и неточности, то напишите о них в комментариях, в группе ВК или Одноклассниках. Также, я всегда отвечу на любые вопросы. Задавайте их на соответствующей странице вверху сайта.