Закон сохранения момента импульса задачи с решением

Одной из важных физических характеристик, которые используются при кинематическом и динамическом описании механического движения тел, является импульс. В данной статье приведем определение закона сохранения импульса в физике, а также продемонстрируем на примере задачи, как его можно использовать на практике.

Импульс или количество движения

Прежде чем рассматривать формулу и определение закона сохранения импульса, познакомимся с самой величиной. В физике под механическим импульсом принято понимать произведение инерционной массы тела на линейную скорость его перемещения в пространстве. Математически величина записывается так:

p¯ = m*v¯.

Как видно, импульс p¯ является векторной характеристикой. Его направление совпадает со скоростью, а модуль в m раз больше модуля |v¯|. Формула показывает, что p¯ содержит информацию одновременно о кинетических и инерционных свойствах тела.

Впервые об импульсе заговорили ученые Нового времени. Первым из них стал Галилео Галилей. В одном из своих научных трудов он использовал эту величину при описании движения тел. Называл он ее количеством движения. Впоследствии Исаак Ньютон взял ее на вооружение при формулировании базовых законов механики.

Изменение количества движения

Напомним, что первый ньютоновский закон говорит о том, что тело не изменяет своей скорости по модулю и направлению до тех пор, пока на него не начнет действовать какая-нибудь внешняя сила. Поскольку масса движущегося тела в механике также остается постоянной, то количество движения p меняться не будет.

Как только некоторая внешняя сила воздействует на тело, то в соответствии со вторым ньютоновским законом она приведет к появлению линейного ускорения. Математически имеем следующие равенства:

F = m*a = m*dv/dt = dp/dt =>

dp = F*dt.

Мы пришли к интересному выводу: оказывается, что величина изменения количества движения будет равна произведению силы на время ее действия. Это произведение называется импульсом силы. Отсюда получаем название импульса для изменения количества движения dp.

Определение закона сохранения импульса

Итак, мы рассмотрели саму физическую величину, показали, в каких условиях количество движения одного тела может измениться.

А что будет с системой движущихся тел, если их предоставить самим себе? Поскольку система является закрытой, то есть на нее не воздействуют внешние силы, то полное количество движения всех тел изменяться во времени не будет, несмотря на то, что между самими телами могут происходить взаимодействия.

Последние представляют собой упругие или пластические столкновения тел. Если во время движения тел в системе присутствуют рассеивающие силы, например, сила трения, то полный импульс сохраняться не будет.

В соответствии с определением закона сохранения импульса, формула математическая для него записывается в виде:

p¯ = const.

Поскольку неизменной остается каждая компонента величины p¯, то для практики удобнее пользоваться следующей системой равенств:

px = const;

py = const;

pz = const.

Отметим, что под компонентой импульса pi, где i = x, y, z, здесь понимается сумма всех соответствующих компонент импульсов для каждого тела, которое входит в изучаемую систему.

В физике обычно встречаются задачи с одномерным или двумерным характером движения, поэтому для их решения достаточно рассмотреть систему из одного или двух уравнений.

Упругие и пластические столкновения

Выше при рассмотрении определения закона сохранения импульса было сказано, что он выполняется при упругих и пластических столкновениях. Поясним этот момент.

Представим себе движение двух шаров навстречу друг другу. Если в результате их столкновения суммарная кинетическая энергия не изменилась, то имело место упругое столкновения.

Любое уменьшение кинетической энергии говорит о наличие пластической деформации у тел после столкновения.

Абсолютно неупругим называется такое столкновение, после которого два шара (тела) начинают двигаться как единое целое.

Для определения степени пластичности столкновения двух тел вводят специальную величину, которая называется коэффициентом восстановления.

Этот коэффициент равен отношению разности скоростей тел после соударения к разности их скоростей до соударения, которое нужно взять с обратным знаком.

Коэффициент изменяется от 0 до 1, причем эти цифры соответствуют абсолютно пластичному и упругому столкновениям, соответственно. Закон сохранения количества движения остается справедливым для любого значения коэффициента восстановления.

Пример решения задачи

Решим следующую простую физическую проблему на применение полученных знаний. Предположим, что два шара движутся друг на друга. Массы шаров равны 5 кг и 3 кг. Их скорости составляют 4 м/с и 6 м/с. После абсолютно пластичного соударения оба шара начинают двигаться вместе. Необходимо определить направление и скорость их совместного движения.

Для решения задачи сделаем следующие обозначения:

v1 = 4 м/с, m1 = 5 кг;

v2 = 6 м/с, m2 = 3 кг.

Предположим, что первый шар движется слева направо, а второй в противоположном направлении. Тогда получаем:

m1*v1 — m2*v2 = (m1 + m2)*u =>

u = (m1*v1 — m2*v2)/(m1 + m2) = (5*4 — 3*6)/(5+3) = 2/8 = 0,25 м/с.

Поскольку получено положительное значение скорости, то это означает, что оба шара после соударения будут двигаться слева направо.

Закон сохранения момента импульса

Определение математическое момента импульса точки материальной можно дать следующее:

L = p*r.

Где буквой r обозначен радиус вращения материальной точки вокруг оси.

Так же как и линейный импульс, величина L сохраняется только тогда, когда на систему не действуют внешние моменты сил. Под моментом силы полагают величину, равную произведению силы на радиус ее приложения относительно оси вращения. Соответствующий закон сохранения записывают так:

I*ω = const.

Где I — это момент инерции, ω — скорость угловая.

Люди, которые любят смотреть фигурное катание, наверняка, не раз замечали этот закон в действии, когда спортсмен, изменяя положение своего тела, начинал вращаться на льду быстрее или медленнее.

Источник

Источник: https://liveprosto.ru/education/opredelenie-zakona-sohraneniya-impulsa-formula-i-primer-zadachi-zakon-sohraneniya-momenta-impulsa/

Понятие о моменте импульса, его закон сохранения и пример решения задачи

Вращательное движение является не менее распространенным в природе, чем линейное перемещение объектов.

Чтобы убедиться в этом, достаточно вспомнить вращение колес автомобилей и велосипедов, лопастей вертолетов и вентиляторов, планет вокруг своей оси и вокруг своих звезд.

Для описания процесса кругового перемещения объектов используется физическая величина, которая получила название “момент импульса”. Рассмотрим в статье, что она собой представляет.

Момент импульса частицы и ось вращения

Ниже приведен рисунок, на котором схематически показано, что некоторая частица или материальная точка массой m совершает движение по круговой траектории радиусом r¯ со скоростью v¯, направленной по касательной. Ось вращения расположена перпендикулярно плоскости рисунка в точке O.

Введем следующую физическую величину:

L¯ = r¯*m*v¯ = r¯*p¯.

Она называется моментом импульса, или угловым моментом. Как видно, это векторная величина.

Ее направление можно определить по правилу правой руки: необходимо направить 4 пальца таким образом, чтобы они, двигаясь вдоль вектора r¯, приходили к концу вектора p¯ (или v¯), тогда большой палец покажет направление L¯. В рассматриваемом случае L¯ направлен к читателю перпендикулярно плоскости рисунка.

Поскольку на рисунке скорость (импульс) частицы направлена под прямым углом к вектору r¯, то приведенное уравнение можно переписать в скалярной форме:

L = r*m*v = r*p.

Угловая скорость и момент инерции

Момент импульса частицы из предыдущего примера можно записать через угловую скорость ω. Для этого воспользуемся ее связью со скоростью линейной:

ω = v/r => v = ω*r.

Подставляя последнее равенство в скалярное уравнение для L, получим:

L = r2*m*ω = I*ω, где I = r2*m.

Здесь I – это момент инерции частицы. Полученное выражение используется часто для решения практических задач, одна из которых будет рассмотрена ниже.

Закон сохранения вращательного движения

Движение по кругу так же, как и линейное перемещение объектов в пространстве, характеризуется законами сохранения. Одним из них является сохранение момента импульса. Получим этот закон.

Уравнение рассматриваемого типа движения имеет следующий вид:

dL/dt = M.

Где dL/dt характеризует изменение момента импульса тела во времени, когда на него оказывает действие некоторый момент M, создаваемый внешними (не внутренними) силами. Если этот момент сил равен нулю, тогда зануляется и левая часть выражения, что означает L=const. Для этого случая можно записать такое равенство:

L = const = I1*ω1 = I2*ω2.

Что означает эта запись? Она говорит о том, что если некоторое тело вращалось со скоростью ω1 и имело момент инерции I1, затем по причине каких-либо внутренних (не внешних) сил изменился момент инерции и стал равным I2, то новая скорость вращения ω2 будет пропорционально связана с этим изменением.

Записанное соотношение называется законом сохранения момента импульса точки (тела) по аналогии с соответствующим законом для линейных величин (сохранение импульса), поскольку роль массы играет момент инерции I, а скорости – угловая величина ω.

Использование закона L = const

Рассмотренное в предыдущем пункте соотношение можно видеть в действии, когда выступают фигуристы или балерины.

Они, выполняя сложные акробатические номера, раскручивают свое тело, разбрасывая при этом руки и ноги, а затем прижимают конечности к телу.

Последнее действие приводит к уменьшению величины I и, соответственно, к увеличению скорости вращения, что создает достаточно зрелищный эффект.

Другим примером использования неизменности момента импульса системы является реализация поворота искусственного спутника в космическом пространстве. Для этого запускают специальный прикрепленный к нему маховик.

Поскольку общий угловой момент не должен измениться за счет действия внутренних сил, то сам спутник начинает вращаться в противоположном направлении.

Как только он повернется на нужный угол вокруг своей оси, маховик останавливают с помощью электромотора, и корпус спутника также прекращает свое вращение.

Вычисление момента инерции

Поскольку в законе сохранения кругового движения присутствует величина I, то следует сказать несколько слов про нее. Она характеризует инерционность системы, то есть насколько “трудно” или “легко” ее раскрутить.

Например, маховик автомобиля обладает большой массой и относительно большим радиусом, поэтому его момент инерции является значительным.

Наоборот, колесо велосипеда сделано из алюминиевого легкого обода, поэтому для него I будет сравнительно небольшим.

Для вычисления этой физической характеристики следует использовать формулу:

I = ∫m(r2*dm).

Откуда видно, что момент инерции – это характеристика системы, в которую входит тело вращения, а не самого тела. Этот факт отличает I от линейной инерции, которая зависит исключительно от свойств тела (его массы).

Задача с вращающимся стержнем

Решим интересную задачу: имеется твердый стержень, который вращается вокруг оси, расположенной на его конце. Если плавно сместить эту ось в центр массы стержня, как изменится его скорость вращения?

Это классическая задача на применение закона сохранения момента импульса. Трудность заключается в вычислении изменения момента инерции. Для этого можно самостоятельно воспользоваться приведенной выше формулой с интегралом, но проще будет посмотреть необходимые значения I в справочной литературе.

В начале ось вращения проходила через конец стержня. Для этой системы момент инерции равен:

I1 = m*L2/3, где L – длина стержня, m – его масса.

Когда ось сместили в центр массы объекта, то изменился его момент инерции, он стал равен:

I2 = m*L2/12.

Применяем закон сохранения для L, получаем:

m*L2/3*ω1 = m*L2/12*ω2 => ω2/ω1 = m*L2/3/(m*L2/12) = 4.

Мы получили ответ на задачу: стержень станет вращаться в 4 раза быстрее, чем вначале.

Источник: https://www.nastroy.net/post/ponyatie-o-momente-impulsa-ego-zakon-sohraneniya-i-primer-resheniya-zadachi

Закон сохранения импульса и момента импульса: пример решения задачи

Когда приходится решать задачи по физике на движение объектов, то часто оказывается полезным применение закона сохранения импульса. Что такое импульс для линейного и кругового перемещения тела, а также в чем состоит суть закона сохранения этой величины, рассматривается в статье.

Понятие о линейном импульсе

Исторические данные свидетельствуют, что впервые эту величину рассмотрел в своих научных трудах Галилео Галилей в начале XVII века. Впоследствии Исаак Ньютон смог гармонично встроить понятие о количестве движения (более правильное название импульса) в классическую теорию перемещения объектов в пространстве.

Обозначим количество движения как p¯, тогда формула для его вычисления запишется в виде:

p¯ = m * v¯.

Здесь m – масса, v¯ – это скорость (векторная величина) движения. Это равенство показывает, что количество движения – это скоростная характеристика объекта, где масса играет роль коэффициента умножения. Количество движения является векторной величиной, направленной в том же направлении, что и скорость.

Интуитивно понятно, что чем больше скорость движения и масса тела, тем труднее его остановить, то есть тем большей кинетической энергией оно обладает.

Можно догадаться, что для изменения величины p¯ тела необходимо приложить некоторую силу. Пусть сила F¯ действует в течение промежутка времени Δt, тогда закон Ньютона позволяет записать равенство:

F¯ * Δt = m * a¯ * Δt; следовательно, F¯ * Δt = m * Δv¯ = Δp¯.

Величина, равная произведению промежутка времени Δt на силу F¯, называется импульсом этой силы. Поскольку она оказывается равной изменению количества движения, то последнее часто называют просто импульсом, предполагая тем самым, что некоторая внешняя сила F¯ его создала.

Таким образом, причиной изменения количества движения является импульс внешней силы. Величина Δp¯ может приводить как к увеличению значения p¯, если угол между F¯ и p¯ является острым, так и к уменьшению модуля p¯, если этот угол тупой. Наиболее простыми случаями являются разгон тела (угол между F¯ и p¯ равен нулю) и его торможение (угол между векторами F¯ и p¯ составляет 180o).

Когда сохраняется количество движения: закон

Если на систему тел не действуют внешние силы, и все процессы в ней ограничиваются только механическим взаимодействием ее составляющих, то каждая компонента количества движения остается неизменной сколь угодно длительное время. Это и есть закон сохранения импульса тел, который математически записывается так:

p¯ = ∑ipi¯= const или

∑ipix= const; ∑ipiy= const; ∑ipiz= const.

Нижний индекс i – это целое число, которое нумерует объект системы, а индексы x, y, z описывают компоненты импульса на каждую из осей координат в декартовой прямоугольной системе.

На практике часто приходится решать одномерные задачи на столкновение тел, когда известны начальные условия, и необходимо определить состояние системы после удара. В этом случае импульс сохраняется всегда, чего нельзя сказать о кинетической энергии.

Последняя до и после удара будет неизменной только в единственном случае: когда имеет место абсолютно упругое взаимодействие.

Для этого случая столкновения двух тел, которые движутся со скоростями v1 и v2, формула закона сохранения импульса примет вид:

m1 * v1 + m2 * v2 = m1 * u1 + m2 * u2.

Здесь скорости u1 и u2 характеризуют движение тел после удара. Отметим, что в этом виде закона сохранения необходимо учитывать знак скоростей: если они направлены друг навстречу другу, то одну следует принять положительной, а другую – отрицательной.

Для абсолютно неупругого соударения (два тела слипаются после удара) закон сохранения количества движения имеет форму:

m1 * v1 + m2 * v2 = (m1 + m2) * u.

Решение задачи на закон сохранения величины p¯

Решим следующую задачу: два шара катятся друг навстречу другу. Массы шаров одинаковые, а их скорости равны 5 м/с и 3 м/с. Полагая, что имеет место абсолютно упругое столкновение, необходимо найти скорости шаров после него.

Пользуясь законом сохранения импульса для одномерного случая, а также учитывая, что кинетическая энергия сохраняется после удара, запишем:

v1 – v2 = u1 + u2;

v12 + v22 = u12 + u22.

Здесь мы сразу сократили массы шаров ввиду их равенства, а также учли тот факт, что тела движутся друг навстречу другу.

Продолжить решение системы проще, если подставить известные данные. Получаем:

5 – 3 – u2 = u1;

52 + 32 = u12 + u22.

Подставляя u1 во второе равенство, получаем:

2 – u2 = u1;

34 = (2 – u2)2+u22=4 – 4u2 + 2u22; следовательно, u22 – 2u2 – 15 = 0.

Мы получили классическое квадратное уравнение. Решаем его через дискриминант, получаем:

D = 4 – 4(-15) = 64.

u2 = (2 ± 8) / 2 = (5; -3) м/c.

Мы получили два решения. Если их подставить в первое выражение и определить u1, тогда получим такие значение: u1= -3 м/с, u2 = 5 м/с; u1= 5 м/с, u2 = -3 м/с. Вторая пара чисел дана в условии задачи, поэтому реальному распределению скоростей после удара она не соответствует.

Таким образом, остается лишь одно решение: u1= -3 м/с, u2 = 5 м/с. Этот любопытный результат означает, что при центральном упругом столкновении два шара равной массы просто обмениваются своими скоростями.

Момент импульса

Все, что говорилось выше, относится к линейному типу движения. Однако, оказывается, аналогичные величины можно ввести и при круговом перемещении тел вокруг некоторой оси. Момент импульса, который также называют угловым моментом, вычисляется как произведение вектора, соединяющего материальную точку с осью вращения, на импульс этой точки. То есть имеет место формула:

L¯ = r¯ * p¯, где p¯ = m * v¯.

Момент импульса, как и величина p¯, это вектор, который направлен перпендикулярно плоскости, построенной на векторах r¯ и p¯.

Величина L¯ является важной характеристикой вращающейся системы, поскольку она определяет энергию, которая в ней запасена.

Момент импульса и закон сохранения

Момент импульса сохраняется, если на систему не действуют внешние силы (обычно говорят об отсутствии момента сил). Выражение в предыдущем пункте путем несложных преобразований можно записать в более удобной для практики форме:

L¯ = I * ω¯, где I = m * r2 – момент инерции материальной точки, ω¯ – угловая скорость.

Момент инерции I, который появился в выражении, имеет абсолютно такой же смыл для вращения, что обычная масса для линейного движения.

Если имеет место какая-либо внутренняя перестройка системы, при которой I изменяется, то ω¯ тоже не остается постоянной. Причем изменение обеих физических величин происходит таким образом, что равенство ниже остается справедливым:

I1 * ω1¯ = I2 * ω2¯.

Это и есть закон сохранения углового момента L¯. Его проявление наблюдал каждый человек, который хотя бы один раз посещал балет или фигурное катание, где спортсменки выполняют пируэты с вращением.

Источник: https://FB.ru/article/430555/zakon-sohraneniya-impulsa-i-momenta-impulsa-primer-resheniya-zadachi

Количество движения и его изменение

Можно догадаться, что для изменения величины p¯ тела необходимо приложить некоторую силу. Пусть сила F¯ действует в течение промежутка времени Δt, тогда закон Ньютона позволяет записать равенство:

F¯ * Δt = m * a¯ * Δt; следовательно, F¯ * Δt = m * Δv¯ = Δp¯.

Величина, равная произведению промежутка времени Δt на силу F¯, называется импульсом этой силы. Поскольку она оказывается равной изменению количества движения, то последнее часто называют просто импульсом, предполагая тем самым, что некоторая внешняя сила F¯ его создала.

Таким образом, причиной изменения количества движения является импульс внешней силы. Величина Δp¯ может приводить как к увеличению значения p¯, если угол между F¯ и p¯ является острым, так и к уменьшению модуля p¯, если этот угол тупой. Наиболее простыми случаями являются разгон тела (угол между F¯ и p¯ равен нулю) и его торможение (угол между векторами F¯ и p¯ составляет 180o).

Закон сохранения момента импульса

Page 3

Источник: https://bstudy.net/716876/estestvoznanie/zakon_sohraneniya_momenta_impulsa

К закону сохранения момента импульса пришли Эйлер и Бернулли. Сущность закона в их понимании заключалась в том, что при вращении нескольких тел вокруг неподвижного центра сумма произведений массы каждого тела на его скорость вращения вокруг оси и на расстояние его от того же центра остается постоянной, если система этих тел не испытывает внешних воздействий. Основное уравнение динамики при вращательном движении твердого тела относительно неподвижной оси: где Ь — момент импульса тела относительно неподвижной оси; J — момент инерции тела относительной той же оси; со — угловая скорость движения тела; М — суммарный момент всех внешних сил, действующих на тело относительно оси вращения. Если при вращении тела вокруг неподвижной оси суммарный момент внешних сил относительно этой оси равен нулю (система замкнута), то уравнение (1) имеет вид: откуда следует, что момент импульса остается постоянным: Основное уравнение динамики вращательного движения в векторном виде: В замкнутой системе суммарный момент внешних сил М = 0 и = 0, откуда а? Закон сохранения момента импульса. Момент импульса замкнутой системы сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени. Закон сохранения момента импульса — фундаментальный закон природы. Отметим, что сохраняется именно вектор момента импульса.

Естественно, что не все реальные системы можно считать замкнутыми, т.е. их суммарный момент внешних сил не равен нулю. Однако законом сохранения момента импульса можно пользоваться и для незамкнутых систем в следующем случае. Проекция момента сил на некоторое направление, например на ось Z, равна нулю. Тогда уравнение (3) в проекциях на оси координат имеет вид: Следовательно, систему можно считать замкнутой лишь для проекции момента импульса на ось Z: Рис. 126 Lz = const. Пример закона сохранения момента импульса для системы из двух тел Человек, стоящий на горизонтальной платформе, держит в руках колесо с массивным ободом (для увеличения момента инерции колеса). Платформа может без заметного трения вращаться вокруг вертикальной оси (рис. 126). Сначала человек покоился вместе с платформой. Затем, сохраняя ось колеса вертикальной, человек привел колесо во вращение. При этом человек вместе с платформой начинает вращаться в противоположную сторону. Это объясняется тем, что силы, которые человек прикладывает к колесу, являются внутренними. Общий момент импульса, равный нулю в начальный момент, не изменится, т.е. Ь = О. Применение закона сохранения момента импульса к движению спутников Рис. 127 Искусственный спутник массой т движется вокруг Земли по эллиптической орбите. Докажем, что мгновенная скорость в точке Р больше, чем в точке Л (рис. 127). Если считать Землю неподвижной и пренебречь влиянием Солнца и других планет, то момент импульса спутника относительно Земли, согласно закону сохранения момента импульса, будет постоянен. Следовательно: Поскольку /V, < /*2, то > и2. Скорость спутника максимальна, когда он ближе всего к Земле в точке Р (эта точка называется перигеем), и минимальна — в наиболее удаленной от Земли точке А, называемой апогеем.

< Предыдущая СОДЕРЖАНИЕ Следующая > Посмотреть оригинал Закон сохранения массы (его раньше называли законом сохранения веса, затем — законом сохранения вещества) установил (1756) М.В. Ломоносов. Затем Лавуазье (1774) экспериментально подтвердил сохранение массы вещества в химических реакциях. Этот закон — первый закон в истории науки, утвердивший важнейшую научную идею — идею сохранения. Закон сохранения электрического заряда был открыт Фарадеем (1843) в процессе исследования электромагнитной индукции. В формулировке закона имелась неточность: Фарадей говорил о сохранении «электрической силы», а не о сохранении количества электричества. Впервые утверждение о том, что электричество нельзя ни создать, ни уничтожить, встречается у Максвелла. Электрические заряды могут только перераспределяться между телами, всегда в равных и противоположных по знаку количествах. Общая формулировка закона дана Липпманом (1881). Закон сохранения массы в классической (ньютоновской) механике Масса замкнутой системы остается постоянной при любых процессах, происходящих в данной системе. Отметим также, что в классической механике: • масса тела не зависит от скорости его движения; • масса тела равна сумме масс всех материальных точек, из которых тело состоит, или, как принято говорить, масса — величина аддитивная.   Посмотреть оригинал < Предыдущая СОДЕРЖАНИЕ Следующая >