Формулы приведения правило

Формулы приведения: доказательство, примеры, мнемоническое правило

Формулы приведения правило

Данная статья посвящена подробному изучению тригонометрических формул приведения. Дан полный список формул приведения, показаны примеры их использования, приведено доказательство верности формул. Также в статье дано мнемоническое правило, которое позволяет выводить формулы приведения, не запоминая каждую формулу.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Фомулы приведения позволяют приводить основные тригонометрические функции углов произвольной величины к функциям углов, лежащих в интервале от 0 до 90 градусов (от 0 до π2 радиан). Оперировать углами от 0 до 90 градусов гораздо удобнее, чем работать со сколь угодно большими значениями, поэтому формулы приведения широко применяются при решении задач тригонометрии. 

Прежде, чем мы запишем сами формулы, уточним несколько важных для понимания моментов.

  • Аргументами тригонометрических функций в формулах приведения являются угды вида ±α+2π·z, π2±α+2π·z, 3π2±α+2π·z. Здесь z – любое целое число, а α – произвольный угол поворота.
  • Не обязательно учить все формулы приведения, количество которых довольно внушительно. Существует мнемоническое правило, которо позволяет легко вывести нужную формулу. Речь о мнемоническом правиле пойдет позже.

Теперь перейдем непосредственно к формулам приведения.

Формулы приведения позволяют переходить от работы с произвольными и сколь угодно большими углами к работе с углами в пределах от 0 до 90 градусов. запишем все формулы в виде таблицы.

Формулы приведения

sinα+2πz=sinα, cosα+2πz=cosαtgα+2πz=tgα, ctgα+2πz=ctgαsin-α+2πz=-sinα, cos-α+2πz=cosαtg-α+2πz=-tgα, ctg-α+2πz=-ctgαsinπ2+α+2πz=cosα, cosπ2+α+2πz=-sinαtgπ2+α+2πz=-ctgα, ctgπ2+α+2πz=-tgαsinπ2-α+2πz=cosα, cosπ2-α+2πz=sinαtgπ2-α+2πz=ctgα, ctgπ2-α+2πz=tgαsinπ+α+2πz=-sinα, cosπ+α+2πz=-cosαtgπ+α+2πz=tgα, ctgπ+α+2πz=ctgαsinπ-α+2πz=sinα, cosπ-α+2πz=-cosαtgπ-α+2πz=-tgα, ctgπ-α+2πz=-ctgαsin3π2+α+2πz=-cosα, cos3π2+α+2πz=sinαtg3π2+α+2πz=-ctgα, ctg3π2+α+2πz=-tgαsin3π2-α+2πz=-cosα, cos3π2-α+2πz=-sinαtg3π2-α+2πz=ctgα, ctg3π2-α+2πz=tgα

 В данном случае формулы записаны с радианами. Однако можно записать их и с использованием градусов. Достаточно только перевести радианы в градусы, заменив π на 180 градусов.

Примеры использования формул приведения

Покажем, как пользоваться формулами приведения и как указанные формулы применяются при решении практических примеров.

Угол под знаком тригонометрической функции можно представить не одним, а множеством способов. Например, аргумент тригонометрической функции может быть представлен в видах ±α+2πz, π2±α+2πz, π±α+2πz, 3π2±α+2πz. Продемонстрируем это.

Возьмем угол α=16π3. Это угол можно записать так:

α=16π3=π+π3+2π·2α=16π3=-2π3+2π·3α=16π3=3π2-π6+2π

В зависимости от представления угла используется соответствующая формула приведения.

Возьмем тот же угол α=16π3 и вычислим его тангенс

Пример 1. Использование формул приведения

α=16π3, tg α=?

Представим угол  α=16π3 в виде α=π+π3+2π·2

Этому представлению угла будет соответствовать формула приведения

tg(π+α+2πz)=tg α

Получим

tg 16π3=tgπ+π3+2π·2=tgπ3

Воспользовавшись таблицей, укажем значение тангенса

tgπ3=3

Теперь используем другое представление угла α=16π3.

Пример 2. Использование формул приведения

α=16π3, tg α=?α=-2π3+2π·3tg16π3=tg-2π3+2π·3=-tg2π3=-(-3)=3

Наконец, для третьего представления угла запишем

Пример 3. Использование формул приведения

α=16π3=3π2-π6+2πtg3π2-α+2πz=ctg αtg α=tg (3π2-π6+2π)=ctgπ6=3

Теперь приведем пример на использование формул приведения посложнее

Пример 4. Использование формул приведения

Представим sin 197° через синус и косинус острого угла.

Для того, чтобы можно было применять формулы приведения, нужно представить угол α=197° в одном из видов

±α+360°·z, 90°±α+360°·z, 180°±α+360°·z, 270°±α+360°·z. Согласно условию задачи, угол должен быть острым. Соответственно, у нас есть два способа для его представления:

197°=180°+17°197°=270°-73°

Получаем

sin197°=sin(180°+17°)sin197°=sin(270°-73°)

Теперь посмотрим на формулы приведения для синусов и выберем соответствующие

sin(π+α+2πz)=-sinαsin(3π2-α+2πz)=-cosαsin 197°=sin(180°+17°+360°·z)=-sin17°sin 197°=sin(270°-73°+360°·z)=-cos73°

Мнемоническое правило

Формул приведения много, и, к счастью, нет необходимости заучивать их наизусть. Существуют закономерности, по которым можно выводить формулы приведения для разных углов и тригонометрических функций. Эти закономерности называются мнемоническим правилом. Мнемоника – искусство запоминания. Мнемоническое правило состоит из трех частей, или содержит три этапа.

Мнемоническое правило

1. Аргумент исходной функции представляется в одном из видов

±α+2πzπ2±α+2πzπ±α+2πz3π2±α+2πz

Угол α должен лежать в пределах от 0 до 90 градусов. 

2. Определяется знак исходной тригонометрической функции. Такой же знак будет иметь функция, записываемая в правой части формулы.

3. Для углов ±α+2πz и π±α+2πz название исходной функции остается неизменным, а для углов π2±α+2πz и 3π2±α+2πz соответственно меняется на “кофункцию”. Синус – на косинус. Тангенс – на котангенс.

Чтобы пользоваться мнемоническим праилом для формул приведения нужно уметь определять знаки тригонометрических функций по четвертям единичной окружности. Разберем примеры применения мнемонического правила. 

Пример 1. Использование мнемонического правила

Запишем формулы приведения для cosπ2-α+2πz и tgπ-α+2πz. α – улог первой четверти.

1. Так как по условию α – улог первой четверти, мы пропускаем первый пункт правила.

2. Определим знаки функций cosπ2-α+2πz и tgπ-α+2πz. Угол π2-α+2πz также является углом первой четверти, а угол π-α+2πz находится во второй четверти. В первой четверти функция косинуса положительна, а тангенс во второй четверти имеет знак минус. Запишем, как будут выглядеть искомые формулы на этом этапе.

 cosπ2-α+2πz=+tgπ-α+2πz=-

3. Согласно третьему пункту для угла π2-α+2π название функции изменяется на конфуцию, а для угла π-α+2πz остается прежним. Запишем:

cosπ2-α+2πz=+sin αtgπ-α+2πz=-tg α

А теперь заглянем в формулы, приведенные выше, и убедимся в том, что мнемоническое правило работает.

Рассмотрим  пример с конкретным углом α=777°. Приведем синус альфа к тригонометрической функции острого угла.

Пример 2. Использование мнемонического правила

1. Представим углол α=777° в необходимом виде

777°=57°+360°·2777°=90°-33°+360°·2

2. Исходный угол – угол первой четверти. Значит, синус угла имеет положительный знак. В итоге имеем:

3. sin 777°=sin(57°+360°·2)=sin 57°sin 777°=sin(90°-33°+360°·2)=cos 33°

Теперь рассмотрим пример, который показывает, как важно правильно определить знак тригонометрической функции и правильно представить угол при использовании мнемонического правила. Повторим еще раз.

Важно! 

Угол α должен быть острым!

Вычислим тангенс угла 5π3. Из таблицы значений основных тригонометрических функций можно сразу взять значение tg 5π3=-3, но мы применим мнемоническое правило.

Пример 3. Использование мнемонического правила

tg 5π3=?

Представим угол α=5π3 в необходимом виде и воспользуемся правилом

tg 5π3=tg3π2+π6=-ctgπ6=-3tg 5π3=tg2π-π3=-tgπ3=-3

Если же представить угол альфа в виде 5π3=π+2π3, то результат применениея мнемонического правила будет неверным.

tg 5π3=tgπ+2π3=-tg2π3=-(-3)=3

Неверный результат обусловлен тем, что угол 2π3 не явдяется острым.

Формулы приведения. Доказательство

Доказательство формул приведения основывается на свойствах периодичности и симметричности тригонометрических функций, а также на свойстве сдвига на углы π2 и 3π2. Доказательство справедливости всех формул приведения иожно проводить без учета слагаемого 2πz, так как оно обозначает изменение угла на целое число полных оборотов и как раз отражает свойство периодичности.

Первые 16 формул следуют напрямую из свойств основных тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котанганса. 

Приведем доказательство формул приведения для синусов  и косинусов

sinπ2+α=cos α и cosπ2+α=-sin α

Посмотрим на единичную окружность, начальная точка которой после повоторота на угол α перешла в точку A1x, y, а после поворота на угол π2+α – в точку A2. Из обеих точек проведем перпендикуляры к оси абсцисс.

Два прямоугольных треугольника OA1H1 и OA2H2 равны по гипотенузе и прилежащим к ней углам. Из расположения точек на окружности и равенства треугольников можно сделать вывод о том, что точка A2 имеет координаты A2-y, x. Используя определения синуса и косинуса, запишем:

sin α=y, cosα=x, sinπ2+α=x, cosπ2+α=y

Отсюда

sinπ2+α=cos α, cosπ2+α=-sinα

С учетом основных тождеств тригонометрии и только что доказанного, можно записать

tgπ2+α=sinπ2+αcosπ2+α=cos α-sin α=-ctg αctgπ2+α=cosπ2+αsinπ2+α=-sin αcosα=-tg α

Для доказательства формул приведения с аргументом π2-α его необходимо представить в виде π2+(-α). Например:

cosπ2-α=cosπ2+(-α)=-sin(-α)=sinα

В доказательстве используются свойства тригонометрических функций с аргументами, противоположными по знаку.

Все остальные формулы приведения можно доказать на базе записанных выше.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/trigonometrija/formuly-privedenija/

10 класс. Алгебра. Тригонометрические функции. Формулы приведения. – Формулы приведения

Формулы приведения правило

Фор­му­лы при­ве­де­ния пред­на­зна­че­ны для того, чтобы при­ве­сти три­го­но­мет­ри­че­скую функ­цию про­из­воль­но­го угла  к три­го­но­мет­ри­че­ской функ­ции наи­мень­ше­го из углов.

 2. Суть формул приведения

Рас­смот­рим кон­крет­ный при­мер. Рас­смот­рим дуги в  и, со­от­вет­ствен­но, (рис. 1).

 как пря­мо­уголь­ные по ги­по­те­ну­зе и остро­му углу 

Из ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков сле­ду­ет ра­вен­ство со­от­вет­ству­ю­щих сто­рон.

Функ­ции боль­ше­го угла при­ве­де­ны к функ­ци­ям мень­ше­го угла. В этом суть фор­мул при­ве­де­ния.

Для при­ме­не­ния фор­мул при­ве­де­ния три­го­но­мет­ри­че­скую функ­цию лю­бо­го угла нужно при­ве­сти к од­но­му из видов: .

 3. Два правила формул приведения, примеры

Фор­мул при­ве­де­ния много, но все они под­чи­ня­ют­ся двум пра­ви­лам:

Пер­вое пра­ви­ло:

Для ар­гу­мен­тов  функ­ция ме­ня­ет­ся на ко­функ­цию, т.е. синус на ко­си­нус и на­о­бо­рот, тан­генс на ко­тан­генс и на­о­бо­рот.

Для ар­гу­мен­тов  функ­ция не ме­ня­ет­ся.

При­ме­ры на пер­вое пра­ви­ло:

Знак пока не учи­ты­ва­ем, он опре­де­ля­ет­ся вто­рым пра­ви­лом, пока важно по­нять, в каких слу­ча­ях функ­ция ме­ня­ет­ся на ко­функ­цию, а в каких не ме­ня­ет­ся.

1) 

2) 

3) 

4) 

Для ар­гу­мен­тов вида на­име­но­ва­ние функ­ции сле­ду­ет из­ме­нить на ко­функ­цию.

5) 

6) 

7) 

8) 

Для ар­гу­мен­тов вида на­име­но­ва­ние функ­ции не ме­ня­ет­ся.

Вто­рое пра­ви­ло (для знака при­ве­ден­ной функ­ции, функ­ции угла ).

1) Счи­та­ем угол  ост­рым, 

2) Опре­де­ля­ем чет­верть и знак в ней при­во­ди­мой функ­ции (функ­ции слева).

3) Ста­вим этот знак перед при­ве­ден­ной к углу  функ­ци­ей (функ­ци­ей спра­ва).

При­ме­ча­ние: Угол  может быть любым, ост­рым мы его счи­та­ем услов­но, для при­ме­не­ния пра­ви­ла.

При­ме­ры на вто­рое пра­ви­ло:

1)  

Рис. 2.

Угол  на­хо­дит­ся во вто­рой чет­вер­ти. Во вто­рой чет­вер­ти , ста­вим знак плюс.

2) 

Рис

Угол  на­хо­дит­ся в тре­тьей чет­вер­ти. В тре­тьей чет­вер­ти  ста­вим знак минус.

3) 

Рис. 4.

Угол  на­хо­дит­ся во вто­рой чет­вер­ти. Во вто­рой чет­вер­ти  ста­вим знак минус.

4) 

Рис. 5.

Угол  на­хо­дит­ся в чет­вёр­той чет­вер­ти. В чет­вёр­той чет­вер­ти  ста­вим знак минус.

5) 

Рис. 6.

Угол  на­хо­дит­ся в тре­тьей чет­вер­ти. В тре­тьей чет­вер­ти  ста­вим знак минус.

6) 

Рис. 7.

Угол  на­хо­дит­ся во вто­рой чет­вер­ти, во вто­рой чет­вер­ти  ста­вим знак минус.

7) 

Рис. 8.

Угол  на­хо­дит­ся во вто­рой чет­вер­ти. Во вто­рой чет­вер­ти  ста­вим знак минус.

8) 

Рис. 9.

Угол  на­хо­дит­ся в чет­вёр­той чет­вер­ти. В чет­вёр­той чет­вер­ти  ста­вим знак минус.

Итак, мы рас­смот­ре­ли раз­лич­ные при­ме­ры при­ме­не­ния пер­во­го и вто­ро­го пра­вил фор­мул при­ве­де­ния.

 4. Приемы, облегчающие запоминание формул приведени

Рас­смот­рим при­е­мы, об­лег­ча­ю­щие за­по­ми­на­ние фор­мул при­ве­де­ния.

1. «Пра­ви­ло ло­ша­ди». Глядя на чис­ло­вую окруж­ность легко от­ве­тить на во­прос, ме­ня­ет­ся ли функ­ция на ко­функ­цию.

Для ар­гу­мен­тов , т.е. ар­гу­мен­тов, от­ло­жен­ных от вер­ти­каль­ной оси, на во­прос, ме­ня­ет­ся ли функ­ция  на ко­функ­цию, ло­шадь, глядя на точки , будет утвер­ди­тель­но ки­вать – функ­ция ме­ня­ет­ся на ко­функ­цию (рис. 10)  .

Для ар­гу­мен­тов  , т.е. ар­гу­мен­тов, от­ло­жен­ных от го­ри­зон­таль­ной оси, ло­шадь, глядя на точки  будет от­ри­ца­тель­но мо­тать го­ло­вой – функ­ция не ме­ня­ет­ся (рис. 10)  .

2. Ис­поль­зу­ем пе­ри­о­дич­ность и чет­ность.

Вспом­ним, что наи­мень­ший по­ло­жи­тель­ный пе­ри­од у тан­ген­са и ко­тан­ген­са равен  Это зна­чит, что

На­при­мер, 

У си­ну­са и ко­си­ну­са наи­мень­ший по­ло­жи­тель­ный пе­ри­од равен 

На­при­мер,

 5. Задачи

Рас­смот­рим при­ме­ры на ис­поль­зо­ва­ние фор­мул при­ве­де­ния.

1) Вы­чис­лить зна­че­ния всех три­го­но­мет­ри­че­ских функ­ций для 

Ре­ше­ние (рис. 11).

Угол  на­хо­дит­ся во вто­рой чет­вер­ти, синус в этой чет­вер­ти по­ло­жи­те­лен, ко­си­нус, тан­генс и ко­тан­генс от­ри­ца­тель­ны.

2) Вы­чис­лить зна­че­ния всех три­го­но­мет­ри­че­ских функ­ций угла 

Ре­ше­ние (рис. 12).

Угол  на­хо­дит­ся в тре­тьей чет­вер­ти, в тре­тьей чет­вер­ти синус и ко­си­нус от­ри­ца­тель­ны, тан­генс и ко­тан­генс по­ло­жи­тель­ны.

 6. Вывод, заключение

Мы рас­смот­ре­ли фор­му­лы при­ве­де­ния и по­яс­ни­ли их на кон­крет­ных при­ме­рах. В даль­ней­шем мы будем ак­тив­но ис­поль­зо­вать фор­му­лы при­ве­де­ния для пре­об­ра­зо­ва­ния три­го­но­мет­ри­че­ских вы­ра­же­ний.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/trigonometricheskie-funkcii/formuly-privedeniya

http://www..com/watch?v=n89ZZG_-5Rk

http://www..com/watch?v=hIdkqqv8Qx4

http://11book.ru/images/shcoolbook_ru/10/10_a_mord_baz.pdf

http://lasse.org/10-klass/reshebniki/algebra/ag-mordkovich-2009-zadachnik

http://mathematics-tests.com/matematika/10-klass/algebra-10-klass-formuly-privedeniya.pdf

http://mathematics-tests.com/matematika/10-klass/algebra-10-klass-formuly-privedeniya.pptx

Источник: https://www.kursoteka.ru/course/2848/lesson/9238/unit/23424

Формулы приведения тригонометрических функций

Формулы приведения правило

Формулы приведения — это соотношения, которые позволяют перейти от тригонометрических функций синус, косинус, тангенс и котангенс с углами `\frac {\pi}2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac {3\pi}2 \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` к этим же функциям угла `\alpha`, который находится в первой четверти единичной окружности. Таким образом, формулы приведения «приводят» нас к работе с углами в пределе от 0 до 90 градусов, что очень удобно.

Формулы приведения: список и таблицы

Всех вместе формул приведения есть 32 штуки. Они несомненно пригодятся на ЕГЭ, экзаменах, зачетах. Но сразу предупредим, что заучивать наизусть их нет необходимости! Нужно потратить немного времени и понять алгоритм их применения, тогда для вас не составит труда в нужный момент вывести необходимое равенство.

Сначала запишем все формулы приведения:

Для угла (`\frac {\pi}2 \pm \alpha`) или (`90\circ \pm \alpha`):

`sin(\frac {\pi}2 — \alpha)=cos \ \alpha;` ` sin(\frac {\pi}2 + \alpha)=cos \ \alpha“cos(\frac {\pi}2 — \alpha)=sin \ \alpha;` ` cos(\frac {\pi}2 + \alpha)=-sin \ \alpha“tg(\frac {\pi}2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac {\pi}2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`

`ctg(\frac {\pi}2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac {\pi}2 + \alpha)=-tg \ \alpha`

Для угла (`\pi \pm \alpha`) или (`180\circ \pm \alpha`):

`sin(\pi — \alpha)=sin \ \alpha;` ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha“cos(\pi — \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha“tg(\pi — \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`

`ctg(\pi — \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`

Для угла (`\frac {3\pi}2 \pm \alpha`) или (`270\circ \pm \alpha`):

`sin(\frac {3\pi}2 — \alpha)=-cos \ \alpha;` ` sin(\frac {3\pi}2 + \alpha)=-cos \ \alpha“cos(\frac {3\pi}2 — \alpha)=-sin \ \alpha;` ` cos(\frac {3\pi}2 + \alpha)=sin \ \alpha“tg(\frac {3\pi}2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac {3\pi}2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`

`ctg(\frac {3\pi}2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac {3\pi}2 + \alpha)=-tg \ \alpha`

Для угла (`2\pi \pm \alpha`) или (`360\circ \pm \alpha`):

`sin(2\pi — \alpha)=-sin \ \alpha;` ` sin(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha“cos(2\pi — \alpha)=cos \ \alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha“tg(2\pi — \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`

`ctg(2\pi — \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`

Часто можно встретить формулы приведения в виде таблицы, где углы записаны в радианах:

Чтобы воспользоваться ею, нужно выбрать строку с нужной нам функцией, и столбец с нужным аргументом. Например, чтобы узнать с помощью таблицы, чему будет равно ` sin(\pi + \alpha)`, достаточно найти ответ на пересечении строки ` sin \beta` и столбца ` \pi + \alpha`. Получим ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`.

И вторая, аналогичная таблица, где углы записаны в градусах:

Мнемоническое правило формул приведения или как их запомнить

Как мы уже упоминали, заучивать все вышеприведенные соотношения не нужно. Если вы внимательно на них посмотрели, то наверняка заметили некоторые закономерности. Они позволяют нам сформулировать мнемоническое правило (мнемоника — запоминать), с помощью которого легко можно получить любую с формул приведения.

Сразу отметим, что для применения этого правила нужно хорошо уметь определять (или запомнить) знаки тригонометрических функций в разных четвертях единичной окружности.Само привило содержит 3 этапа:

    1. Аргумент функции должен быть представлен в виде `\frac {\pi}2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac {3\pi}2 \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha`, причем `\alpha` — обязательно острый угол (от 0 до 90 градусов).
    2. Для аргументов `\frac {\pi}2 \pm \alpha`, `\frac {3\pi}2 \pm \alpha` тригонометрическая функция преобразуемого выражения меняется на кофункцию, то есть противоположную (синус на косинус, тангенс на котангенс и наоборот). Для аргументов `\pi \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` функция не меняется.
    3. Определяется знак исходной функции. Полученная функция в правой части будет иметь такой же знак.

Чтобы посмотреть, как на практике можно применить это правило, преобразим несколько выражений:

1. ` cos(\pi + \alpha)`.

Функция на противоположную не меняется. Угол ` \pi + \alpha` находится в III четверти, косинус в этой четверти имеет знак «-» , поэтому преобразованная функция будет также со знаком «-» .

Ответ: ` cos(\pi + \alpha)= — cos \alpha`

2.  `sin(\frac {3\pi}2 — \alpha)`.

Согласно мнемоническому правилу функция изменится на противоположную. Угол `\frac {3\pi}2 — \alpha` находится в III четверти, синус здесь имеет знак «-» , поэтому результат также будет со знаком «-» .

Ответ: `sin(\frac {3\pi}2 — \alpha)= — cos \alpha`

3. `cos(\frac {7\pi}2 — \alpha)`.

`cos(\frac {7\pi}2 — \alpha)=cos(\frac {6\pi}2+\frac {\pi}2-\alpha)=cos (3\pi+(\frac{\pi}2-\alpha))`. Представим `3\pi` как `2\pi+\pi`. `2\pi` — период функции.

Важно: Функции `cos \alpha` и `sin \alpha` имеют период `2\pi` или `360\circ`, их значения не изменятся, если на эти величины увеличить или уменьшить аргумент.

Исходя из этого, наше выражение можно записать следующим образом: `cos (\pi+(\frac{\pi}2-\alpha)`. Применив два раза мнемоническое правило, получим: `cos (\pi+(\frac{\pi}2-\alpha)= — cos (\frac{\pi}2-\alpha)= — sin \alpha`.

Ответ: `cos(\frac {7\pi}2 — \alpha)=- sin \alpha`.

Лошадиное правило

Второй пункт вышеописанного мнемонического правила еще называют лошадиным правилом формул приведения. Интересно, почему лошадиным?

Итак, мы имеем функции с аргументами `\frac {\pi}2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac {3\pi}2 \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha`, точки `\frac {\pi}2`, `\pi`, `\frac {3\pi}2`, `2\pi` — ключевые, они располагаются на осях координат. `\pi` и `2\pi` на горизонтальной оси абсцисс, а `\frac {\pi}2` и `\frac {3\pi}2` на вертикальной оси ординат.

Задаем себе вопрос: «Меняется ли функция на кофункцию?». Чтобы ответить на этот вопрос, нужно подвигать головой вдоль оси, на которой расположена ключевая точка.

То есть для аргументов с ключевыми точками, расположенными на горизонтальной оси, мы отвечаем «нет», мотая головой в стороны. А для углов с ключевыми точками, расположенными на вертикальной оси, мы отвечаем «да», кивая головой сверху вниз, как лошадь

Источник: https://matemonline.com/dh/%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F/formuly-privedenija/

Формулы приведения в тригонометрии

Формулы приведения правило

В тригонометрии, вообще, очень много разных формул. Их количество ни в коем случае не должно пугать школьника. Для того, чтобы успешно сдать ЕГЭ нужно не зубрить наизусть основные тригонометрические тождества, а понять их суть. Для многих формул разработаны даже специальные мнемонические правила, чтобы их можно было проще запомнить.

Один из самых сложных и запутанных, на взгляд ученика средней школы, раздел тригонометрических выражений – это формулы приведения. Для чего же они нужны? Отбросив вступление, скажем сразу — формулы приведения позволяют заменить функцию на кофункцию. Например, если в задании стоит синус α, его можно заменить на косинус α, и наоборот.

ФункцияКофункция
sin αcos α
cos αsin α
tg αctg α
ctg αtg α

Формулы приведения

Так в каких же случаях необходимо применять формул приведения?! Все очень просто, с их помощью, можно заменить не только функцию, но и аргумент. Например, косинус тупого угла можно заменить на косинус или синус острого угла.

А теперь, внимательно рассмотрим список. Нетрудно заметить, что в нем присутствуют некие закономерности.

Итак, для каждой функции существует 8 формул приведения: 2 с аргументами (π±α), 2 для угла (2π±α), по две на (π/2±α) и (3π/2±α).

Если проанализировать перечень, то можно убедиться, что для первых 4-х аргументов смена функции на кофункцию не происходит. Попробуем переписать аргументы выражений не в радианах, а в градусах:

Загадка решена — каждая пара формул описывает поведение функции в той или иной четверти тригонометрической окружности.

Осталось вывести мнемонические правила для формул приведения и запомнить их.

Мнемонические правила формул приведения

Мнемоника – это совокупность правил, приемов и подсказок, облегчающих запоминание информации, путем создания устойчивых ассоциаций. Для подобных «правил» используют яркие и необычные образы. Всем известны «пифагоровы штаны» и стишок глаголов на спряжение:

Оба примера являются яркой иллюстрацией мнемонических правил.

Чтобы быстро и безошибочно восстановить любую формулу приведения необходимо выполнить три пункта:

  1. Представить исходный аргумент в требуемом виде: (π±α), (2π±α),  (π/2±α) или (3π/2±α).
  2. Определить какой знак имеет исходная функция в требуемой четверти.
  3. Заменить при необходимости функцию на кофункцию: в случаях (π±α)  и (2π±α) функция не меняется,а при (π/2±α) или (3π/2±α)  происходит смена тригонометрического выражения при аргументе.

Разберем конкретный  пример подобных преобразований.

Задача 1.

Привести tg 750° к тригонометрическим функциям острого угла. Решение: Аргумент тангенса можно записать разными способами.

  • tg 750° = tg (2*360° + 30°) = tg (2π + 30°+2π);
  • tg 750° = tg (90° — 60° +  2*360°)= tg (π/2-60° +4π).

Лишними 2π и 4π в обоих случаях можно пренебречь, так как каких-либо серьезных изменений они не вносят. Если поставить карандаш в точку пересечения луча, выходящего из центра окружности под углом к оси ОХ в

Источник: https://karate-ege.ru/matematika/trigonometricheskie-formuly-privedeniya.html

Формулы приведения. Как быстро получить любую формулу приведения

Формулы приведения правило

Формулы приведения разработаны для углов, представленных в одном из следующих видов: \(\frac{\pi}{2}+a\), \(\frac{\pi}{2}-a\), \(π+a\), \(π-a\), \(\frac{3\pi}{2}+a\), \(\frac{3\pi}{2}-a\), \(2π+a\) и \(2π-a\).

Аналогично их можно использовать для углов представленных в градусах: \(90°+a\), \(90°-a\), \(180°+a\), \(180°-a\), \(270°+a\), \(270°-a\), \(180°+a\), \(180°-a\).

К счастью, учить наизусть формулы привидения вам не придется, потому что есть легкий и надежный способ вывести нужную за пару секунд.

Для начала обратите внимание, что все формулы имеют похожий вид:

Здесь нужно пояснить термин «кофункция» – это та же самая функция с добавлением или убиранием приставки «ко-». То есть, для синуса кофункцией будет косинус, а для косинусасинус. С тангенсом и котангенсом – аналогично.

Функция:                Кофункция: \(sin⁡\) \(a\)          \(→\)            \(cos⁡\) \(a\) \(cos⁡\) \(a\)          \(→\)             \(sin⁡\) \(a\) \(tg⁡\) \(a\)            \(→\)            \(ctg\) \(a\)

\(ctg⁡\) \(a\)          \(→\)             \(tg\) \(a\)

Таким образом, например, синус при применении этих формул никогда не поменяется на тангенс или котангенс, он либо останется синусом, либо превратиться в косинус. А котангенс никогда не станет синусом или косинусом, он либо останется котангенсом, либо станет тангенсом. И так далее. 

Едем дальше. Так как исходная функция и ее аргумент нам обычно даны, то весь вывод нужной формулы сводится к двум вопросам: – как определить знак перед конечной функцией (плюс или минус)?

– как определить меняется ли функция на кофункцию или нет?

Какой знак был у исходной функции в исходной четверти, такой знак и нужно ставить перед конечной функцией

Например, выводим формулу приведения для \(⁡cos⁡(\frac{3\pi}{2}-a) =….\) С исходной функцией понятно – косинус, а исходная четверть?

Для того, чтобы ответить на этот вопрос, представим, что \(a\) – угол от \(0\) до \(\frac{\pi}{2}\), т.е. лежит в пределах \(0°…90°\) (хотя это может быть не так, но для определения знака данная условность необходима).

В какой четверти тригонометрической окружности при таком условии будет находиться точка, обозначающая угол \(\frac{3\pi}{2}-a\)?
Чтобы ответить на вопрос, надо от точки, обозначающей \(\frac{3\pi}{2}\), повернуть в отрицательную сторону на угол \(a\).

В какой четверти мы окажемся? В третьей. А какой же знак имеет косинус в третьей четверти? Минус. Поэтому перед итоговой функцией будет стоят минус: \(cos(\frac{3\pi}{2}-a)=-…\)

Здесь правило еще проще:

– если «точка привязки» \(\frac{\pi}{2}\) (\(90°\)) или \(\frac{3\pi}{2}\) (\(270°\))– функция меняется на кофункцию;
– если «точка привязки» \(π\) (\(180°\)) или \(2π\) (\(360°\)) – функция остается той же

То есть, при аргументах исходной функции \(\frac{\pi}{2}+a\), \(\frac{\pi}{2}-a\), \(\frac{3\pi}{2}+a\) или \(\frac{\pi}{2}-a\), мы должны поменять функцию, а при аргументах \(π+a\), \(π-a\), \(2π+a\) или \(2π-a\) – нет. Для того, чтоб это легче запомнить, вы можете воспользоваться мнемоническим правилом, которое в школе называют «лошадиным правилом»:

Точки, обозначающие \(\frac{\pi}{2}\) \((90°)\) и \(\frac{3\pi}{2}\) \((270°)\), расположены вертикально, и если вы переводите взгляд с одной на другую и назад, вы киваете головой, как бы говоря «да».

Точки же, обозначающие \(π\) (\(180°\)) и \(2π\) (\(360°\)), расположены горизонтально, и если вы переводите взгляд между ними, вы мотаете головой, как бы говоря «нет».

Эти «да» и «нет» – и есть ответ на вопрос: «меняется ли функция?».
Таким образом, согласно правилу, в нашем примере выше \(cos⁡(\frac{3π}{2}-a)=…\) косинус будет меняться на синус. В конечном итоге получаем, \(cos⁡(\frac{3π}{2}-a)=-sin⁡\) \(a\). Это и есть верная формула приведения.

Зачем нужны формулы привидения? Ну, например, они позволяют упрощать выражения или находить значения некоторых тригонометрических выражений без использования калькулятора.

Пример. (Задание из ЕГЭ) Найдите значение выражения \(\frac{18 \cos {⁡{41}°} }{\sin⁡ {{49}°}}\)

Решение:

\(\frac{18 \cos {{⁡41}°} }{\sin⁡{{49}°}}=\)

Углы \({41}°\) и \({49}°\) нестандартные, поэтому «в лоб» без калькулятора вычислить непросто. Однако использовав формулы привидения, мы легко найдем правильный ответ. Прежде всего, обратите внимание на одну важный момент: \(49°=90°-41°\). Поэтому мы можем заменить на \(49°\) на \(90°-41°\).

\(=\frac{18 \cos {⁡41° }}{\sin⁡ {({90}°-{41}°)}}=\)

Теперь применим к синусу формулу приведения:

  • \(90°-41°\) – это первая четверть, синус в ней положителен. Значит, знак будет плюс;

  • \(90°\)- находится на «вертикали» – функция меняется на кофункцию.

\(\sin⁡{(90°-41°)}=\cos⁡ 41° \)

\(=\frac{18 \cos {⁡41° }}{\cos⁡ {{41}°}}=\)

В числителе и знаменателе получились одинаковые косинусы. Сокращаем их.

\(= 18\)

Записываем ответ

Ответ:  \(18\)

Пример. Найдите значение выражения \(\frac{3 \sin{⁡(\pi-a)}-\cos(\frac{\pi}{2}+a) }{\cos⁡ {(\frac{3\pi}{2}-a)}}\)

Решение:

\(\frac{3 \sin{⁡(\pi-a)}-\cos(\frac{\pi}{2}+a) }{\cos⁡ {(\frac{3\pi}{2}-a)}}=\)

Рассмотрим первое слагаемое числителя: \(\sin⁡(π-a)\). Воспользуемся формулами приведения, выведя ее самостоятельно:
  • \((π-a)\) это вторая четверть, а синус во второй четверти положителен. Значит, знак будет плюс;
  • \(π\) это точка «горизонтальная», то есть мотаем головой, значит функция остается той же.

Таким образом, \(\sin⁡(π-a)=\sin⁡a\) 

\(=\frac{3 \sin{⁡a}-\cos(\frac{\pi}{2}+a) }{\cos⁡ {(\frac{3\pi}{2}-a)}}=\)

Второе слагаемое числителя: \(\cos⁡{(\frac{π}{2} + a)}\):
  • \((\frac{π}{2} + a)\) это опять вторая четверть, а косинус во второй четверти отрицателен. Значит, знак будет минус.
  • \(\frac{π}{2}\) это точка «вертикальная», то есть киваем, значит, функция меняется на кофункцию – синус.

Таким образом, \(\cos{⁡(\frac{π}{2} + a)}=-\sin⁡a\)

\(=\frac{3 \sin{⁡a}-(-\sin{a}) }{\cos⁡ {(\frac{3\pi}{2}-a)}}=\)

Теперь знаменатель: \(\cos⁡(\frac{3π}{2} – a)\). Его мы разобрали выше, он равен минус синусу. \(\cos⁡(\frac{3π}{2} – a)=-\sin{⁡a}\)

\(=\frac{3 \sin{⁡a}-(-\sin{a}) }{-\sin⁡ {a}}=\)

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые.

\(=\frac{3 \sin{⁡a}+\sin{a}}{-\sin⁡ {a}}=\frac{4\sin{a}}{-\sin{a}}\)

Сократив на \(\sin⁡{a}\), получаем ответ.

\(=\frac{4 }{-1}=\)\(-4\)

Ответ:  \(-4\)

Пример. Вычислить чему равен \(ctg(-a-\frac{7π}{2})\), если \(tg\) \(⁡a=2\)

Решение:

\(ctg(-a-\frac{7π}{2}) =\)

Здесь сразу формулу приведения применять нельзя, так как аргумент нестандартный. Что не так? Прежде всего, \(a\) стоит первой, хотя должна быть после «точки привязки». Поменяем местами слагаемые аргумента, сохраняя знаки.

\(= ctg(-\frac{7π}{2}-a) =\)

Уже лучше, но все еще есть проблемы – «точка привязки» с минусом, а такого аргумента у нас нет. Избавимся от минуса, вынеся его за скобку внутри аргумента.

\(= ctg(-(\frac{7π}{2}+a)) =\)

Теперь вспомним о том, что котангенс – функция нечетная, то есть \(ctg\) \((-t)=- ctg\) \(t\). Преобразовываем наше выражение.

\(= – ctg(\frac{7π}{2}+a) =\)

Несмотря на то, что точка привязки \(\frac{7π}{2}\) мы все равно можем использовать формулы приведения, потому что \(\frac{7π}{2}\) лежит на пересечении одной из осей и числовой окружности (смотри пояснение ниже). \((\frac{7π}{2}+a)\) это четвертая четверть, и котангенс там отрицателен. «Точка привязки» – вертикальная, то есть функцию меняем. Окончательно имеем \(ctg(\frac{7π}{2}+a)=-tg a\) .

\(= – (- tg\) \(a) = tg\) \(a = 2\)

Готов ответ.

Ответ:  \(2\)

Еще раз проговорим этот важный момент: с точки зрения формулы приведения \(\frac{7π}{2}\) – это тоже самое, что и \(\frac{3π}{2}\). Почему? Потому что \(\frac{7π}{2}=\frac{3π+4π}{2}=\frac{3π}{2}+\frac{4π}{2}=\frac{3π}{2}+2π\). Иными словами, они отличаются ровно на один оборот \(2π\). А на значения тригонометрических функций количество оборотов никак не влияет:

\(cos\) \(⁡t=cos ⁡(t+2π)=cos ⁡(t+4π)=cos ⁡(t+6π)= …=cos⁡ (t-2π)=cos ⁡(t-4π)=cos⁡ (t-6π)…\)
\(sin\) \(t=sin⁡ (t+2π)=sin ⁡(t+4π)=sin ⁡(t+6π)= …=sin⁡ (t-2π)=sin ⁡(t-4π)=sin ⁡(t-6π)…\)

Аналогично с тангенсом и котангенсом (только у них «оборот» равен \(π\)). \(tg\) \(t=tg⁡(t+π)=tg⁡(t+2π)=tg⁡(t+3π)= …=tg⁡(t-π)=tg⁡(t-2π)=tg⁡(t-3π)…\)

\(ctg\) \(t=ctg⁡(t+π)=ctg⁡(t+2π)=ctg⁡(t+3π)= …=ctg⁡(t-π)=ctg⁡(t-2π)=ctg⁡(t-3π)…\)

Таким образом, \(-ctg(\frac{7π}{2}+a)=- ctg(\frac{3π}{2}+2π+a)=- ctg(\frac{3π}{2}+a)\).

То есть, для определения знака и необходимости смены функции важно лишь местоположение «точки привязки», а не её значение, поэтому так расписывать не обязательно (но можно если вы хотите впечатлить своими знаниями учительницу).

Вопрос: Есть ли формулы приведения с аргументами \((\frac{π}{3}-a)\),\((\frac{π}{4}+a)\),\((\frac{7π}{6}+a)\) или тому подобное?
Ответ: К сожалению, нет. В таких ситуациях выгодно использовать формулы разности и суммы аргументов. Например, \(cos⁡(\frac{π}{3}-a)=cos⁡\frac{π}{3} cos⁡a+sin⁡\frac{π}{3} sin⁡a=\frac{1}{2}cos⁡a+\frac{\sqrt{3}}{2} sin⁡a\).

Смотрите также Как доказать тригонометрическое тождество?

Скачать статью {2}+a\), \(\frac{\pi}{2}-a\), \(π+a\), \(π-a\), \(\frac”,”word_count”:1076,”direction”:”ltr”,”total_pages”:1,”rendered_pages”:1}

Источник: http://cos-cos.ru/math/239/

ГосЗакон
Добавить комментарий