Правилом саррюса

Определитель матрицы или детерминант матрицы – это одна из основных численных характеристик квадратной матрицы, применяемая при решении многих задач.

Определение.

Определителем матрицы n×n будет число:

det(A) =	Σ	(-1)N(α1,α2,…,αn)·aα11·aα22·…·aαnn
(α1,α2,…,αn)

где (α1,α2,…,αn) – перестановка чисел от 1 до n, N(α1,α2,…,αn) – число инверсий в перестановке, суммирование идёт по всем возможным перестановкам порядка n.

Обозначение

Определитель матрици A обычно обозначается det(A), |A|, или ∆(A).

1. Определитель единичной матрицы равен единице:

   det(E) = 1

2. Определитель матрицы с двумя равными строками (столбцами) равен нулю.

3. Определитель матрицы с двумя пропорциональными строками (столбцами) равен нулю.

4. Определитель матрицы, содержащий нулевую строку (столбец), равен нулю.

5. Определитель матрицы равен нулю если две (или несколько) строк (столбцев) матрицы линейно зависимы.

6. При транспонировании значение определителя матрицы не меняется:

   det(A) = det(AT)

7. Определитель обратной матрицы:

   det(A-1) = det(A)-1

8. Определитель матрицы не изменится, если к какой-то его строке (столбцу) прибавить другую строку (столбец), умноженную на некоторое число.

9. Определитель матрицы не изменится, если к какой-то его строке (столбцу) прибавить линейную комбинации других строк (столбцов).

10. Если поменять местами две строки (столбца) матрицы, то определитель матрицы поменяет знак.

11. Общий множитель в строке (столбце) можно выносить за знак определителя:

    a11a12…a1n a21a22…a2n …. k·ai1k·ai2…k·ain …. an1an2…ann = k· a11a12…a1n a21a22…a2n …. ai1ai2…ain …. an1an2…ann

12. Если квадратная матрица n-того порядка умножается на некоторое ненулевое число, то определитель полученной матрицы равен произведению определителя исходной матрицы на это число в n-той степени:

    B = k·A   =>   det(B) = kn·det(A)

    где A матрица n×n, k – число.

13. Если каждый элемент в какой-то строке определителя равен сумме двух слагаемых, то исходный определитель равен сумме двух определителей, в которых вместо этой строки стоят первые и вторые слагаемые соответственно, а остальные строки совпадают с исходным определителем:

    a11a12…a1n a21a22…a2n …. bi1 + ci1bi2 + ci2…bin + cin …. an1an2…ann = a11a12…a1n a21a22…a2n …. bi1bi2…bin …. an1an2…ann + a11a12…a1n a21a22…a2n …. ci1ci2…cin …. an1an2…ann

14. Определитель верхней (нижней) треугольной матрицы равен произведению его диагональных элементов.

15. Определитель произведения матриц равен произведению определителей этих матриц:

    det(A·B) = det(A)·det(B)

Правило:

Для матрицы первого порядка значение определителя равно значению элемента этой матрицы:

∆ = |a11| = a11

Правило:

Для матрицы 2×2 значение определителя равно разности произведений элементов главной и побочной диагоналей:

Пример 1.

Найти определитель матрицы A

Решение:

det(A) =

= 5·1 – 7·(-4) = 5 + 28 = 33

Правило:

Для матрицы 3×3 значение определителя равно сумме произведений элементов главной диагонали и произведений элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной главной диагонали, от которой вычитается произведение элементов побочной диагонали и произведение элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной побочной диагонали.

∆ =

a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33

=

=  a11·a22·a33 + a12·a23·a31 + a13·a21·a32 – a13·a22·a31 – a11·a23·a32 – a12·a21·a33

Правило:

Справа от определителя дописывают первых два столбца и произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей параллельных, берут со знаком “плюс”; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных, со знаком “минус”:

∆ =

a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32

=

=  a11·a22·a33 + a12·a23·a31 + a13·a21·a32 – a13·a22·a31 – a11·a23·a32 – a12·a21·a33

Пример 2.

Найти определитель матрицы A = 571 -410 203

Решение:

det(A) = 571 -410 203 = 5·1·3 + 7·0·2 + 1·(-4)·0 – 1·1·2 – 5·0·0 – 7·(-4)·3 = 15 + 0 + 0 – 2 – 0 + 84 = 97

Правило:

Определитель матрицы равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения:

n
det(A) =	Σ	aij·Aij	– разложение по i-той строке
j = 1

Правило:

Определитель матрицы равен сумме произведений элементов столбца определителя на их алгебраические дополнения:

n
det(A) =	Σ	aij·Aij	– разложение по j-тому столбцу
i = 1

При разложение определителя матрицы обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом максимальное количество нулевых элементов.

Пример 3.

Найти определитель матрицы A

Решение: Вычислим определитель матрицы разложив его по первому столбцу:

= 2·(-1)1+1· 21 11 + 0·(-1)2+1· 41 11 + 2·(-1)3+1· 41 21 =

= 2·(2·1 – 1·1) + 2·(4·1 – 2·1) = 2·(2 – 1) + 2·(4 – 2) = 2·1 + 2·2 = 2 + 4 = 6

Пример 4.

Найти определитель матрицы A

A = 2411 0200 2113 4023

Решение: Вычислим определитель матрицы, разложив его по второй строке (в ней больше всего нулей):

det(A) = 2411 0200 2113 4023 = – 0· 411 113 023 + 2· 211 213 423 – 0· 241 213 403 + 0· 241 211 402 =

= 2·(2·1·3 + 1·3·4 + 1·2·2 – 1·1·4 – 2·3·2 – 1·2·3) = 2·(6 +12 + 4 – 4 – 12 – 6) = 2·0 = 0

Приведение определителя к треугольному виду

Правило:

Используя свойства определителя для элементарных преобразований над строками и столбцами 8 – 11, определитель приводится к треугольному виду, и тогда его значение будет равно произведению элементов стоящих на главной диагонали.

Пример 5.

Найти определитель матрицы A приведением его к треугольному виду

A = 2411 0210 2113 4023

Решение:

det(A) = 2411 0210 2113 4023

Сначала получим нули в первом столбце под главной диагональю. Для этого отнимем от 3-тей строки 1-ую строку, а от 4-той строки 1-ую строку, умноженную на 2:

det(A) = 2411 0210 2 – 21 – 41 – 13 – 1 4 – 2·20 – 4·22 – 1·23 – 1·2 = 2411 0210 0-302 0-801

Получим нули во втором столбце под главной диагональю. Для этого поменяем местами 2-ой и 3-тий столбцы (при этом детерминант сменит знак на противоположный):

det(A) = – 2141 0120 00-32 00-81

Получим нули в третьем столбце под главной диагональю. Для этого к 3-ему столбцу добавим 4-тий столбец, умноженный на 8:

det(A) = – 214 + 1·81 012 + 0·80 00-3 + 2·82 00-8 + 1·81 = – 21121 0120 00132 0001 = -2·1·13·1 = -26

Теорема Лапласа

Теорема:

Пусть ∆ – определитель n-ого порядка. Выберем в нем произвольные k строк (столбцов), причем k 

Источник: https://ru.onlinemschool.com/math/library/matrix/determinant/

Правило Саррюса (правило треугольника)

Пример1:

=–2×1×(–5)+ 5×4×(–4)+ 3×2×(–3)–(–3)×1× (–4)–4×2×

(–2)–5×3 × (–5)= 10 –80–18–12+16 +75 = –9.

Пример2:

=45 + 8 ‒ 24 ‒ 60 + 6 ‒ 24 = ‒ 49.

МиноромMijэлемента aijквадратнойматрицы n‒ го порядка называется определитель(n‒ 1) ‒ го порядка, полу­ченный из даннойматрицы вычеркиванием i‒ йстроки и j‒ гостол­бца, на пересечении которых стоитданный элемент.

Пример:

;

M11== 15 + 2 = 17;

M12== –6–6= –12;и т. д. всего 9 миноров.

Алгебраическимдополнением Aijэлементаaijквадратной матрицы называется егоминор,взятый со знаком (‒1)i+j.

Пример:

А11 =(–1)1+1×M11=17.

А12 =(–1)1+2×M12 = ‒ 1×M12= 12.

А13 =(–1)1+3×=4 ‒ 30= – 26; и т.д.

Свойства определителей

1.Определитель равен нулю, если содержит:

-нулевую строку или нулевой столбец;

-две одинаковые строки (столбца);

-две пропорциональных строки (столбца).

Пример:

=0; = 0;= 0;III= I× (-3).

2.Общий множитель элементов любой строки(столбца) можно выносить за знакопределителя.

Пример:

=2×= 2×(30+24+4‒24+8+15) = 2×57= 114.

3.Определитель не изменится, если кэлементам любой строки (столбца) прибавитьэлементы другой строки (столбца)умноженные на одно число.

Пример:

I× 5 + II; I × (‒2) + III; I × (‒ 4) + IV;

== 1×(–1)1+3×.

Вырожденные и невырожденные матрицы, обратная матрица

МатрицаА-1называетсяобратной к матрице A,если при умножении ее на матрицу A,как справа, так и слева, получитсяединичная матрица.

А-1×A=A×А-1=E

Матрицаназывается невырожденной,если ее определитель не равен 0, иназывается вырожденной,если ее определитель равен 0.

Теорема.

Обратнаяматрица А-1существуеттолько тогда, когда матрица невырожденная,т.е. |A|≠ 0.

Алгоритмнахождения.

1.Найти определитель матрицы А.

Если│A│=0, то обратная матрица не существует,если │A│≠0, то перейти ко второму шагу.

2.Найти матрицу AT,транспонированную к матрице А.

3.Найти алгебраические дополненияэлементов матрицы ATи составить из них матрицу Ã,которая называется присоединенной.

Ã=

4.Обратную матрицу найти по формуле:

5.Сделать проверку А–1×A= E

Решение матричных уравнений

Матричное уравнение имеет вид:

A× Х= B

Умножимобе части уравнения на матрицу А–1слева:

А-1×A×Х = А-1×В.

Таккак А-1×А=Е,тоЕ×Х = А-1×В.

ТаккакЕ× Х=X,тоХ= А-1×В

Пример:

Дано:

А= ;

В= ;

Найти:

X‒?

Решение:

1)│А│=

2)AT=.

3)

Ã=.

4)А-1= × Ã =×=

Х=А-1×B=

Ответ:

Ранг матрицы, нахождение ранга матрицы

Рангомматрицы называется наивысший порядокне равных нулю миноров этой матрицы.

Обозначается rang(A)или r(A).

Теорема1.Ранг матрицы не превосходит наименьшегоиз ее размеров.

r(A)≤ min (m; n)

Пример:

А2×3= ;

r(A)≤ min(2; 3) = 2, т. е. согласно теореме r(A)≤ 2.

=3 + 24 = 27 0; r(A)= 2 (порядок ненулевого минора).

Теорема2.Ранг квадратной матрицы n-гопорядка равен ее порядку, если она невырожденная.

Примеры:

1)А3×3= ;r(A)≤ 3.

│А│== 24 + 0 – 4 + 4 – 18 – 0 = 6 0 матрица не вырожденнаяr(A)= 3.

2)А3×3=;│А│=0, т.к.III = I × (– 3) r(A)< 3.

=0 + 5 = 5 0 r(A)= 2 (порядок ненулевого минора).

Теорема3.Ранг матрицы не изменяется при элементарныхпреобразованиях матрицы.

Источник: https://StudFiles.net/preview/6055013/page:3/