Сокращение дробей 8 класс правила

Сфор­му­ли­ру­ем пра­ви­ло сло­же­ния (вы­чи­та­ния) ал­геб­ра­и­че­ских дро­бей с оди­на­ко­вы­ми зна­ме­на­те­ля­ми (оно сов­па­да­ет с ана­ло­гич­ным пра­ви­лом для обык­но­вен­ных дро­бей):  То есть для сло­же­ния или вы­чи­та­ния ал­геб­ра­и­че­ских дро­бей с оди­на­ко­вы­ми зна­ме­на­те­ля­ми необ­хо­ди­мо со­ста­вить со­от­вет­ству­ю­щую ал­геб­ра­и­че­скую сумму чис­ли­те­лей, а зна­ме­на­тель оста­вить без из­ме­не­ний.

Это пра­ви­ло мы раз­бе­рём и на при­ме­ре обык­но­вен­ных дро­бей, и на при­ме­ре ал­геб­ра­и­че­ских дро­бей.

 Примеры применения правила для обыкновенных дробей

При­мер 1. Сло­жить дроби: .

Ре­ше­ние

Сло­жим чис­ли­те­ли дро­бей, а зна­ме­на­тель оста­вим таким же. После этого раз­ло­жим чис­ли­тель и зна­ме­на­тель на про­стые мно­жи­те­ли и со­кра­тим. По­лу­чим: .

При­ме­ча­ние: стан­дарт­ная ошиб­ка, ко­то­рую до­пус­ка­ют при ре­ше­нии по­доб­но­го рода при­ме­ров, за­клю­ча­ет­ся в сле­ду­ю­щем спо­со­бе ре­ше­ния: . Это гру­бей­шая ошиб­ка, по­сколь­ку зна­ме­на­тель оста­ёт­ся таким же, каким был в ис­ход­ных дро­бях.

Ответ: .

При­мер 2. Сло­жить дроби: .

Ре­ше­ние

Дан­ная за­да­ча ничем не от­ли­ча­ет­ся от преды­ду­щей: .

Ответ: .

 Примеры применения правила для алгебраических дробей

От обык­но­вен­ных дро­бей пе­рей­дём к ал­геб­ра­и­че­ским.

При­мер 3. Сло­жить дроби: .

Ре­ше­ние:как уже го­во­ри­лось выше, сло­же­ние ал­геб­ра­и­че­ских дро­бей ничем не от­ли­ча­ет­ся от сло­же­ния обык­но­вен­ных дро­бей. По­это­му метод ре­ше­ния такой же: .

Ответ: .

При­мер 4. Вы­честь дроби: .

Ре­ше­ние

Вы­чи­та­ние ал­геб­ра­и­че­ских дро­бей от­ли­ча­ет­ся от сло­же­ния толь­ко тем, что в чис­ли­тель за­пи­сы­ва­ет­ся раз­ность чис­ли­те­лей ис­ход­ных дро­бей. По­это­му .

Ответ: .

При­мер 5. Вы­честь дроби: .

Ре­ше­ние: .

Ответ: .

При­мер 6. Упро­стить: .

Ре­ше­ние: .

Ответ: .

 Примеры применения правила с последующим сокращением

В дроби, ко­то­рая по­лу­ча­ет­ся в ре­зуль­та­те сло­же­ния или вы­чи­та­ния, воз­мож­ны со­кра­ще­ния. Кроме того, не стоит за­бы­вать об ОДЗ ал­геб­ра­и­че­ских дро­бей.

При­мер 7. Упро­стить: .

Ре­ше­ние: .

При этом . Во­об­ще, если ОДЗ ис­ход­ных дро­бей сов­па­да­ет с ОДЗ ито­го­вой, то его можно не ука­зы­вать (ведь дробь, по­лу­чен­ная в от­ве­те, также не будет су­ще­ство­вать при со­от­вет­ству­ю­щих зна­че­ни­ях пе­ре­мен­ных). А вот если ОДЗ ис­ход­ных дро­бей и от­ве­та не сов­па­да­ет, то ОДЗ ука­зы­вать необ­хо­ди­мо.

Ответ: .

При­мер 8. Упро­стить: .

Ре­ше­ние: . При этом y (ОДЗ ис­ход­ных дро­бей не сов­па­да­ет с ОДЗ ре­зуль­та­та).

Ответ: .

 Сложение и вычитание обыкновенных дробей с разными знаменателями

Чтобы скла­ды­вать и вы­чи­тать ал­геб­ра­и­че­ские дроби с раз­ны­ми зна­ме­на­те­ля­ми, про­ве­дём ана­ло­гию с обык­но­вен­ны­ми дро­бя­ми и пе­ре­не­сём её на ал­геб­ра­и­че­ские дроби.

 Рас­смот­рим про­стей­ший при­мер для обык­но­вен­ных дро­бей.

При­мер 1. Сло­жить дроби: .

Ре­ше­ние:

Вспом­ним пра­ви­ло сло­же­ния дро­бей. Для на­ча­ла дроби необ­хо­ди­мо при­ве­сти к об­ще­му зна­ме­на­те­лю. В роли об­ще­го зна­ме­на­те­ля для обык­но­вен­ных дро­бей вы­сту­па­ет наи­мень­шее общее крат­ное (НОК) ис­ход­ных зна­ме­на­те­лей.

Опре­де­ле­ние

– наи­мень­шее на­ту­раль­ное число, ко­то­рое де­лит­ся од­но­вре­мен­но на числа  и .

Для на­хож­де­ния НОК необ­хо­ди­мо раз­ло­жить зна­ме­на­те­ли на про­стые мно­жи­те­ли, а затем вы­брать все про­стые мно­жи­те­ли, ко­то­рые вхо­дят в раз­ло­же­ние обоих зна­ме­на­те­лей.

; . Тогда в НОК чисел  долж­ны вхо­дить две двой­ки и две трой­ки: .

После на­хож­де­ния об­ще­го зна­ме­на­те­ля, необ­хо­ди­мо для каж­дой из дро­бей найти до­пол­ни­тель­ный мно­жи­тель (фак­ти­че­ски, по­де­лить общий зна­ме­на­тель на зна­ме­на­тель со­от­вет­ству­ю­щей дроби).

.

Затем каж­дая дробь умно­жа­ет­ся на по­лу­чен­ный до­пол­ни­тель­ный мно­жи­тель. По­лу­ча­ют­ся дроби с оди­на­ко­вы­ми зна­ме­на­те­ля­ми, скла­ды­вать и вы­чи­тать ко­то­рые мы на­учи­лись на про­шлых уро­ках.

По­лу­ча­ем: .

Ответ:.

Рас­смот­рим те­перь сло­же­ние ал­геб­ра­и­че­ских дро­бей с раз­ны­ми зна­ме­на­те­ля­ми. Сна­ча­ла рас­смот­рим дроби, зна­ме­на­те­ли ко­то­рых яв­ля­ют­ся чис­ла­ми.

 Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями

При­мер 2. Сло­жить дроби: .

Ре­ше­ние:

Ал­го­ритм ре­ше­ния аб­со­лют­но ана­ло­ги­чен преды­ду­ще­му при­ме­ру. Легко по­до­брать общий зна­ме­на­тель дан­ных дро­бей:  и до­пол­ни­тель­ные мно­жи­те­ли для каж­дой из них.

.

Ответ:.

Итак, сфор­му­ли­ру­ем ал­го­ритм сло­же­ния и вы­чи­та­ния ал­геб­ра­и­че­ских дро­бей с раз­ны­ми зна­ме­на­те­ля­ми:

1. Найти наи­мень­ший общий зна­ме­на­тель дро­бей.

2. Найти до­пол­ни­тель­ные мно­жи­те­ли для каж­дой из дро­бей (по­де­лив общий зна­ме­на­тель на зна­ме­на­тель дан­ной дроби).

3. До­мно­жить чис­ли­те­ли на со­от­вет­ству­ю­щие до­пол­ни­тель­ные мно­жи­те­ли.

4. Сло­жить или вы­честь дроби, поль­зу­ясь пра­ви­ла­ми сло­же­ния и вы­чи­та­ния дро­бей с оди­на­ко­вы­ми зна­ме­на­те­ля­ми.

Рас­смот­рим те­перь при­мер с дро­бя­ми, в зна­ме­на­те­ле ко­то­рых при­сут­ству­ют бук­вен­ные вы­ра­же­ния.

При­мер 3. Сло­жить дроби: .

Ре­ше­ние:

По­сколь­ку бук­вен­ные вы­ра­же­ния в обоих зна­ме­на­те­лях оди­на­ко­вы, то сле­ду­ет найти общий зна­ме­на­тель для чисел . Ито­го­вый общий зна­ме­на­тель будет иметь вид: . Таким об­ра­зом, ре­ше­ние дан­но­го при­ме­ра имеет вид:.

Ответ:.

При­мер 4. Вы­честь дроби: .

Ре­ше­ние:

Если «схит­рить» при под­бо­ре об­ще­го зна­ме­на­те­ля не уда­ёт­ся (нель­зя раз­ло­жить на мно­жи­те­ли или вос­поль­зо­вать­ся фор­му­ла­ми со­кра­щён­но­го умно­же­ния), то в ка­че­стве об­ще­го зна­ме­на­те­ля при­хо­дит­ся брать про­из­ве­де­ние зна­ме­на­те­лей обеих дро­бей.

.

Ответ:.

Во­об­ще, при ре­ше­нии по­доб­ных при­ме­ров, наи­бо­лее слож­ным за­да­ни­ем яв­ля­ет­ся на­хож­де­ние об­ще­го зна­ме­на­те­ля.

 Пример вычитания алгебраических дробей с разложением знаменателя на множители

Рас­смот­рим более слож­ный при­мер.

При­мер 5. Упро­стить: .

Ре­ше­ние:

При на­хож­де­нии об­ще­го зна­ме­на­те­ля необ­хо­ди­мо пре­жде всего по­пы­тать­ся раз­ло­жить зна­ме­на­те­ли ис­ход­ных дро­бей на мно­жи­те­ли (чтобы упро­стить общий зна­ме­на­тель).

В дан­ном кон­крет­ном слу­чае:

;

.

Тогда легко опре­де­лить общий зна­ме­на­тель: .

Опре­де­ля­ем до­пол­ни­тель­ные мно­жи­те­ли и ре­ша­ем дан­ный при­мер:

.

Ответ:.

Источник конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/algebra/8-klass/algebraicheskie-drobi-arifmeticheskie-operacii-nad-algebraicheskimi-drobyami/slozhenie-i-vychitanie-algebraicheskih-drobey-s-odinakovymi-znamenatelyami?konspekt&chapter_id=13

Источние видео: http://www..com/watch?v=EuOVn2d9lAY

Источник: https://www.kursoteka.ru/course/3412/lesson/11530

Сокращение дробей правила 8 класс

Произведем тождественное преобразование, то есть разложим числитель на множители.

Или, например, дана такая дробь:

Её лучше привести к такому виду:

Не забываем про свойство:

Умножение алгебраических дробей с одинаковыми и разными знаменателями

Рассмотрим несколько примеров.

Разложим дробь на множители.

Приведем обе дроби к общему знаменателю (вспомним урок: «Сложение и вычитание дробей», где были подсказки, как лучше и проще подбирать общий знаменатель). В итоге получим дробь.

Разложим на составные множители и сократим дробь.

Деление алгебраических дробей с одинаковыми и разными знаменателями

Разложим дроби на множители.

Теперь переворачиваем дробь и умножаем.

Разложим на множители и сгруппируем многочлены.

mathematics-tests.com

Сокращение алгебраических дробей (7-й класс)

Разделы: Математика

Цели:

• систематизировать знания учащихся,
• совершенствовать навыки сокращения алгебраических дробей,
• развивать творческую самостоятельность учащихся, формировать интерес к предмету.

План урока:

• Организационный момент.
• Обобщение и закрепление ранее изученного материала.
• Итог урока.
• Домашнее задание.

Оснащение урока:

• Раздаточный материал.
• Карточки для игр “Лото” и “Математическое домино”.
• Мультимедийная приставка.

I. Организационный момент.

(Урок начинается со стихотворения, которое зачитывает ученик у доски).

Сегодня в дроби я попал Загрустил, затосковал. Ох, и сложное же положение Научиться выполнять деление. Мысли путаются все В моей умной голове. Как же дроби сократить? Что на что мне разделить? Есть числитель, знаменатель Разлагать умею я

Помогите мне, друзья.

(Учитель прикрепляет портрет грустного человека)

— О какой помощи вас просит Антон? (Научить сокращать дроби)

— А что значит сократить дробь?

— В виде чего должны быть представлены числитель и знаменатель дроби?

— Какие способы разложения на множители вы знаете? (В ходе беседы с учащимися на доске появляется схема)

— Расскажите алгоритм сокращения дробей.

II. Обобщение и закрепление ранее изученного материала.

Итак, тема нашего урока “Сокращение алгебраических дробей” (записывают в тетрадях).

Цель: закрепить навыки сокращения дробей.

1. Устная работа.

Так как единственный путь, ведущий к знанию – это деятельность. Предлагаю выполнить следующие задания:

1. № 690(а) из домашнего задания.

2. Решить уравнение х (х – 1) – (х – 5) 2 = 2.

4. На местах несколько человек выполняют на листочках тест.

Тест “Сокращение дробей”

1. А. Б. В.

2. A. Б. В.

3. А. Б. – В.

4. А. – 1 Б. В.

5. А. Б. В.

С остальными учащимися проводится фронтальная работа:

(Презентация, слайд № 2, 3, 4, 5)

1. При каком значении переменной дробь не имеет смысла , ?

2. Можно ли сократить дробь ?

3. При каком значении n верно равенство ? Что выражает это равенство?

4. Сократите дробь:, , , .

Проверка отвечающих у доски.

— Одним из основных умений при сокращении дробей является разложение многочлена на множители. Проверим, готовы ли мы к сокращению дробей.

(Учащимся выдаются листочки с заданиями. Необходимо найти для многочлена, который записан в левом столбце, его разложение в правом столбце. Выполняют задание по вариантам.)

1 вариант

1. 49 + 14у + у 2 ; А) (7 – у)(7 + у)

2. 2у 2 – 20у + 50; Б) (у – 5)(у 2 + 5у + 25)

3. х 3 – х 2 у; В) 2(у – 5) 2

4. 49 – у 2 ; Г) (7 + у) 2

5. у 3 – 125; Д) (у – 3) 3

6. у 3 – 9у 2 + 27у – 27; Е) х 2 (х – у)

2 вариант

1. 25 – х 2 ; А) (х + 5) 2

2. 3х 2 – 30х + 75; Б) (х – 2) 3

3. 125 – х 3 ; В) 3(х – 5) 2

4. х 2 + 10х + 25; Г) (5 – х)(5 + х)

5. х 3 – 6х 2 + 12х – 8; Д) х 3 (х – у)

6. х 4 – х 3 у; Е) (5 – х)(25 + 5х + х 2 )

Дополнительное задание для тех учащихся, кто работает быстро:

Составьте из двух многочленов левого или правого столбца дробь так, чтобы можно было выполнить сокращение дроби и сократите дробь. (Проверка-презентация, слайд № 6, 7)

Ответ: Г, В, Е, А, Б, Д.

(Предлагаю учащимся оценить себя: “5” — нет ошибок; “4” — 1 ошибка; “3” — 2 ошибки).

(Вопросы на закрепление материала)

1) Чему равен квадрат суммы двух выражений?

2) Чему равна разность кубов двух выражений?

2. Парная работа.

“Изучать материал не размышляя, все равно, что есть не переваривая”.

Поразмышляем в парах:

Ученикам предлагается карточка лото на выбор. На красной карточке задание более сложное, на синей – более простое.

xn--i1abbnckbmcl9.xn--p1ai

Сокращение дробей 6 класс

Тазетдинова Анастасия Николаевна, учитель математики

МОУ лицей №6 Октябрьского района городского округа город Уфа Республики Башкортостан, licey [email protected] ufanet . ru

Тема: Сокращение дробей

Тип урока: урок совершенствования и контроля ЗУН.

Знать основное свойство дроби и уметь применять его при сокращении дробей.

Развивать интерес к предмету.

Рассказать учащимся о картине Н. П. Богданова-Бельского «Устный счёт», обращая внимание на задачу, условие которой написано на классной доске.

Учить работать учащихся как индивидуально, так и в группах, воспитывая критическое отношение к своим знаниям, умение прислушиваться к чужому мнению.

Проверить усвояемость пройденного материала.

ПК (с таким расчетом, чтобы за одним ПК работало не более 2 учащихся) с установленным тестом по теме «Сокращение дробей».

Репродукция картины Н. П. Богданова-Бельского «Устный счёт».

Виленкин Я. Н. и др. Математика 6: Учебное пособие. М.: Мнемозина, 2004.

Фаермарк Д. С. Задача пришла с картины. – М.: Наука, 1974 г.

Сообщение задачи урока.

Здравствуйте, ребята! Сегодня мы будем применять на практике те знания, которые вы получили на предыдущих уроках по теме «Сокращение дробей». Вы увидите, что умение сокращать дроби очень помогает при решении примеров на вычисление. А в конце урока с помощью тестирования вы узнаете, хорошо ли вы усвоили пройденный материал.

Для начала – устная разминка:

В чём заключается основное свойство дроби?

Изменится ли значение дроби, если её числитель уменьшить в 2 раза, а знаменатель увеличить в 2 раза?

Изменится ли значение дроби, если к числителю и знаменателю прибавить 2?

Изменится ли значение дроби, если её числитель умножить на 2, а знаменатель разделить на ?

Многие люди бодрствуют 16 часов в сутки. Какую часть суток люди спят? Ответ дайте в виде несократимой дроби.

Ну что ж, разминка показала, что вы усвоили тему, и мы можем приступать к решению примеров. Запишите в тетрадях число, тему «Сокращение дробей».

Далее решаются №236, 277, 282 из учебника. Учащиеся по одному выходят к доске и комментируют своё решение. Так как учащиеся уже знают, как работать с интерактивной доской, им разрешается самим выбрать цвет ручки. Если одним учащимся на доске допущена ошибка, другой учащийся своим цветом исправляет её.

А теперь перейдём к решению более интересного примера.

Демонстрируется репродукция картины «Устный счёт» Николая Петровича Богданова-Бельского (1868-1945), написанная в 1895-96 г.

Как правило, в каждом классе находятся учащиеся, чем-то напоминающие героев картины, поэтому ученики с интересом обсуждают, что они видят. Итак, класс сельской школы. Идёт урок арифметики. Учитель написал на доске задачу, и ребятишки решают её в уме. На переднем плане – мальчик в длинной холщовой рубахе, подпоясанной бечёвкой.

Из рваного рукава виден голый локоть.(Сирота, наверное, некому присмотреть). единственное, что на нём целое и ладное, — этот новенькие лапти, сплетённые, должно быть, собственными руками. Высокий лоб, большие умные глаза. Во всём облике угадывается большое упорство и внутренняя сила.

Он, может быть, не всегда быстро, но всегда самостоятельно доходит до сути вещей. Как знать, может в этом маленьком оборвыше художник изобразил самого себя, своё безрадостное детство. Рядом другой подросток в вышитой рубахе и синих портках. Одну руку он заложил за голову, он думает.

Широко раскрыты голубые глаза, как будто они стараются где-то вдалеке разглядеть решение. Один из мальчиков наклонился к уху учителя и, прикрыв рот ладошкой, шепчет с видом заговорщика, ответ. Справа от него другой мальчик скосил глаза: ему хочется подслушать ответ.

Слева от учителя – мальчик в сиреневой рубашке и добротных сапогах, видно, из зажиточных, старательно считает на пальцах, и губы его что-то шепчут. Мальчик, стоящий слева от доски, кажется, вот-вот решит задачу. Два мальчика – один в розовой рубашке, второй — в белой, справа от доски, решают задачу совместно.

Вместе – легче, они ведь маленькие. Учитель, сидя в спокойной позе, внимательно, с интересом наблюдает за учениками. Художник изобразил на этой картине невыдуманных учеников и учителя. С 1833 по 1902 г. жил известный русский педагог Сергей Александрович Рачинский, замечательный представитель русских образованных людей девятнадцатого века.

Он был доктором естественных наук и профессором ботаники Московского Университета. В 1868 г. С. А. Рачинский оставляет должность профессора, открывает школу для крестьянских детей в селе Татево, Смоленской области, и становится в ней учителем.

Его ученики так хорошо считали устно, что этому удивлялись все посетители школы: другие учителя, инспектора. Сам Николай Петрович был учеником С. А. Рачинского. Рачинский учил детей не только устному счёту, он учил их думать и рассуждать, подбирая соответствующие примеры и задачи. Что же за пример решают ученики трёхклассной сельской школы?

Когда я предлагаю ученикам решить этот пример, многие берут в руки карандаши или ручки. Останавливаю их: «Ведь ребята с картины решают этот пример устно!» Через какое-то время некоторые учащиеся, вспомнив устную разминку в начале урока, догадываются что , т.е. ответ задачи 2.

для них решение этого примера – подлинная радость, открытие. Называю время, потраченное ими на решение примера, и сообщаю, что с помощью компьютера эта задача решается мгновенно, разумеется, если правильно составить программу для вычисления.

Но составлять программы учащиеся будут на уроках информатики, а пока предлагаю им с помощью ПК проверить свои знания в области сокращения дробей.

На доске показывается демонстрационная версия теста по данной теме, а затем учащиеся рассаживаются за компьютеры с таким расчётом, чтобы за одним компьютером находилось не более двух человек, и решают тест по теме «Сокращение дробей».

На какое наибольшее число можно сократить дробь:

на наибольший общий делитель числителя и знаменателя;

на наименьшее общее кратное числителя и знаменателя.

pedsovet.su

Презентация по алгебре «Сокращение алгебраических дробей» (8 класс)

Успейте воспользоваться скидками до 50% на курсы «Инфоурок»

Презентация к уроку алгебры «Сокращение алгебраических дробей» (8 класс) создана к учебнику «Алгебра — 8», А. Г. Мордкович. Показ можно осуществлять на уроке в целях знакомства школьников с теоретическим материалом, а также при его повторении. Данная работа обеспечивает максимальную наглядность при изучении темы.

• Колчанова Гульнара Рафаильевна
• 21
• 10.04.2018

К учебнику: Алгебра. 8 класс. Учебник. Мордкович А.Г., Николаев Н.П. М.: 2013. — 256 с.

К уроку: § 27. Разложение квадратного трёхчлена на линейные множители

Номер материала: ДБ-1429534

Свидетельство о публикации данного материала автор может скачать в разделе «Достижения» своего сайта.

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Источник: https://yurist-moscow.ru/sokrashhenie-drobej-pravila-8-klass/

Сокращение алгебраических дробей: правило, примеры



Данная статья продолжает тему преобразования алгебраических дробей: рассмотрим такое действие как сокращение алгебраических дробей. Дадим определение самому термину, сформулируем правило сокращения и разберем практические примеры.

Yandex.RTB R-A-339285-1

В материалах об обыкновенной дроби мы рассматривали ее сокращение. Мы определили сокращение обыкновенной дроби как деление ее числителя и знаменателя на общий множитель.

Сокращение алгебраической дроби представляет собой аналогичное действие.

Определение 1

Сокращение алгебраической дроби – это деление ее числителя и знаменателя на общий множитель. При этом, в отличие от сокращения обыкновенной дроби (общим знаменателем может быть только число), общим множителем числителя и знаменателя алгебраической дроби может служить многочлен, в частности, одночлен или число.

К примеру, алгебраическая дробь 3·x2+6·x·y6·x3·y+12·x2·y2  может быть сокращена на число 3, в итоге получим: x2+2·x·y6·x3·y+12·x2·y2 . Эту же дробь мы можем сократить на переменную х, и это даст нам выражение 3·x+6·y6·x2·y+12·x·y2. Также заданную дробь возможно сократить на одночлен 3·x или любой из многочленов x+2·y, 3·x+6·y, x2+2·x·y или 3·x2+6·x·y.

Конечной целью сокращения алгебраической дроби является дробь более простого вида, в лучшем случае – несократимая дробь.

Все ли алгебраические дроби подлежат сокращению?

Опять же из материалов об обыкновенных дробях мы знаем, что существуют сократимые и несократимые дроби. Несократимые – это дроби, не имеющие общих множителей числителя и знаменателя, отличных от 1.

С алгебраическими дробями все так же: они могут иметь общие множители числителя и знаменателя, могут и не иметь. Наличие общих множителей позволяет упростить исходную дробь посредством сокращения. Когда общих множителей нет, оптимизировать заданную дробь способом сокращения невозможно.

В общих случаях по заданному виду дроби довольно сложно понять, подлежит ли она сокращению. Конечно, в некоторых случаях наличие общего множителя числителя и знаменателя очевидно. Например, в алгебраической дроби 3·x23·y совершенно понятно, что общим множителем является число 3.

В дроби -x·y5·x·y·z3 также мы сразу понимаем, что сократить ее возможно на х, или y, или на х·y. И все же гораздо чаще встречаются примеры алгебраических дробей, когда общий множитель числителя и знаменателя не так просто увидеть, а еще чаще – он попросту отсутствует.

Например, дробь x3-1×2-1  мы можем сократить на х-1, при этом указанный общий множитель в записи отсутствует. А вот дробь x3-x2+x-1×3+x2+4·x+4  подвергнуть действию сокращения невозможно, поскольку числитель и знаменатель не имеют общего множителя.

Таким образом, вопрос выяснения сократимости алгебраической дроби не так прост, и зачастую проще работать с дробью заданного вида, чем пытаться выяснить, сократима ли она.

При этом имеют место такие преобразования, которые в частных случаях позволяют определить общий множитель числителя и знаменателя или сделать вывод о несократимости дроби.

Разберем детально этот вопрос в следующем пункте статьи.

Правило сокращения алгебраических дробей

Правило сокращения алгебраических дробей состоит из двух последовательных действий:

• нахождение общих множителей числителя и знаменателя;
• в случае нахождения таковых осуществление непосредственно действия сокращения дроби.

Самым удобным методом отыскания общих знаменателей является разложение на множители многочленов, имеющихся в числителе и знаменателе заданной алгебраической дроби. Это позволяет сразу наглядно увидеть наличие или отсутствие общих множителей.

Само действие сокращения алгебраической дроби базируется на основном свойстве алгебраической дроби, выражаемой равенством undefined , где a,b,c – некие многочлены, причем b и c – ненулевые. Первым шагом дробь приводится к виду a·cb·c , в котором мы сразу замечаем общий множитель c. Вторым шагом – выполняем сокращение, т.е. переход к дроби вида ab .

Характерные примеры

Несмотря на некоторую очевидность, уточним про частный случай, когда числитель и знаменатель алгебраической дроби равны. Подобные дроби тождественно равны 1 на всей ОДЗ переменных этой дроби:

55=1;-23-23=1;xx=1;-3,2·x3-3,2·x3=1;12·x-x2·y12·x-x2·y;  

и т.п.

Поскольку обыкновенные дроби являются частным случаем алгебраических дробей, напомним, как осуществляется их сокращение. Натуральные числа, записанные в числителе и знаменателе, раскладываются на простые множители, затем общие множители сокращаются (если таковые имеются).

К примеру, 241260=2·2·2·32·2·3·3·5·7=23·5·7=2105

Произведение простых одинаковых множителей возможно записать как степени, и в процессе сокращения дроби использовать свойство деления степеней с одинаковыми основаниями. Тогда вышеуказанное решение было бы таким:

241260=23·322·32·5·7=23-232-1·5·7=2105  

(числитель и знаменатель разделены на общий множитель 22·3). Или для наглядности, опираясь на свойства умножения и деления, решению дадим такой вид:

241260=23·322·32·5·7=2322·332·15·7=21·13·135=2105

По аналогии осуществляется сокращение алгебраических дробей, у которых в числителе и знаменателе имеются одночлены с целыми коэффициентами.

Пример 1

Задана алгебраическая дробь -27·a5·b2·c·z6·a2·b2·c7·z . Необходимо произвести ее сокращение.

Решение

Возможно записать числитель и знаменатель заданной дроби как произведение простых множителей и переменных, после чего осуществить сокращение:

-27·a5·b2·c·z6·a2·b2·c7·z=-3·3·3·a·a·a·a·a·b·b·c·z2·3·a·a·b·b·c·c·c·c·c·c·c·z==-3·3·a·a·a2·c·c·c·c·c·c=-9·a32·c6

Однако, более рациональным способом будет запись решения в виде выражения со степенями:

-27·a5·b2·c·z6·a2·b2·c7·z=-33·a5·b2·c·z2·3·a2·b2·c7·z=-332·3·a5a2·b2b2·cc7·zz==-33-12·a5-21·1·1c7-1·1=·-32·a32·c6=·-9·a32·c6 .

Ответ: -27·a5·b2·c·z6·a2·b2·c7·z=-9·a32·c6

Когда в числителе и знаменателе алгебраической дроби имеются дробные числовые коэффициенты, возможно два пути дальнейших действий: или отдельно осуществить деление этих дробных коэффициентов, или предварительно избавиться от дробных коэффициентов, умножив числитель и знаменатель на некое натуральное число. Последнее преобразование проводится в силу основного свойства алгебраической дроби (про него можно почитать в статье «Приведение алгебраической дроби к новому знаменателю»).

Пример 2

Задана дробь 25·x0,3·x3. Необходимо выполнить ее сокращение.

Решение

Возможно сократить дробь таким образом:

25·x0,3·x3=25310·xx3=43·1×2=43·x2

Попробуем решить задачу иначе, предварительно избавившись от дробных коэффициентов – умножим числитель и знаменатель на наименьшее общее кратное знаменателей этих коэффициентов, т.е. на НОК (5, 10) = 10. Тогда получим:

25·x0,3·x3=10·25·x10·0,3·x3=4·x3·x3=43·x2 .

Ответ: 25·x0,3·x3=43·x2

Когда мы сокращаем алгебраические дроби общего вида, в которых числители и знаменатели могут быть как одночленами, так и многочленами, возможна проблема, когда общий множитель не всегда сразу виден. Или более того, он попросту не существует. Тогда для определения общего множителя или фиксации факта о его отсутствии числитель и знаменатель алгебраической дроби раскладывают на множители.

Пример 3

Задана рациональная дробь 2·a2·b2+28·a·b2+98·b2a2·b3-49·b3 . Необходимо ее сократить.

Решение

Разложим на множители многочлены в числителе и знаменателе. Осуществим вынесение за скобки:

2·a2·b2+28·a·b2+98·b2a2·b3-49·b3=2·b2·(a2+14·a+49)b3·(a2-49)

Мы видим, что выражение в скобках возможно преобразовать с использованием формул сокращенного умножения:

2·b2·(a2+14·a+49)b3·(a2-49)=2·b2·(a+7)2b3·(a-7)·(a+7)

Хорошо заметно, что возможно сократить дробь на общий множитель b2·(a+7). Произведем сокращение:

2·b2·(a+7)2b3·(a-7)·(a+7)=2·(a+7)b·(a-7)=2·a+14a·b-7·b

Краткое решение без пояснений запишем как цепочку равенств:

2·a2·b2+28·a·b2+98·b2a2·b3-49·b3=2·b2·(a2+14a+49)b3·(a2-49)==2·b2·(a+7)2b3·(a-7)·(a+7)=2·(a+7)b·(a-7)=2·a+14a·b-7·b

Ответ: 2·a2·b2+28·a·b2+98·b2a2·b3-49·b3=2·a+14a·b-7·b.

Случается, что общие множители скрыты числовыми коэффициентами. Тогда при сокращении дробей оптимально числовые множители при старших степенях числителя и знаменателя вынести за скобки.

Пример 4

Дана алгебраическая дробь 15·x-27·x3·y5·x2·y-312 . Необходимо осуществить ее сокращение, если это возможно.

Решение

На первый взгляд у числителя и знаменателя не существует общего знаменателя. Однако, попробуем преобразовать заданную дробь. Вынесем за скобки множитель х в числителе:

15·x-27·x3·y5·x2·y-312=x·15-27·x2·y5·x2·y-312

Теперь видна некая схожесть выражения в скобках и выражения в знаменателе за счет x2·y. Вынесем за скобку числовые коэффициенты при старших степенях этих многочленов:

x·15-27·x2·y5·x2·y-312=x·-27·-72·15+x2·y5·x2·y-15·312==-27·x·-710+x2·y5·x2·y-710

Теперь становится виден общий множитель, осуществляем сокращение:

-27·x·-710+x2·y5·x2·y-710=-27·x5=-235·x

Ответ: 15·x-27·x3·y5·x2·y-312=-235·x .

Сделаем акцент на том, что навык сокращения рациональных дробей зависит от умения раскладывать многочлены на множители.

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/vyrazhenija/sokraschenie-algebraicheskih-drobej/

Грамотное умножение и деление рациональных дробей — 8 класс



16 сентября 2015

Прежде всего, чтобы научиться работать с рациональными дробями без ошибок, необходимо выучить формулы сокращённого умножения. И не просто выучить — их необходимо распознавать даже тогда, когда в роли слагаемых выступают синусы, логарифмы и корни.

Однако основным инструментом остаётся разложение числителя и знаменателя рациональной дроби на множители. Этого можно добиться тремя различными способами:

1. Собственно, по формула сокращённого умножения: они позволяют свернуть многочлен в один или несколько множителей;
2. С помощью разложения квадратного трёхчлена на множители через дискриминант. Этот же способ позволяет убедиться, что какой-либо трёхчлен на множители вообще не раскладывается;
3. Метод группировки — самый сложный инструмент, но это единственный способ, который работает, если не сработали два предыдущих.

Как вы уже, наверное, догадались из названия этого видео, мы вновь поговорим о рациональных дробях. Буквально несколько минут назад у меня закончилось занятие с одним десятиклассником, и там мы разбирали именно эти выражения. Поэтому данный урок будет предназначен именно для старшеклассников.

Наверняка у многих сейчас возникнет вопрос: «Зачем ученикам 10-11 классов изучать такие простые вещи как рациональные дроби, ведь это проходится в 8 классе?». Но в том то и беда, что большинство людей эту тему именно «проходят».

Они в 10-11 классе уже не помнят, как делается умножение, деление, вычитание и сложение рациональных дробей из 8-го класса, а ведь именно на этих простых знаниях строятся дальнейшие, более сложные конструкции, как решение логарифмических, тригонометрических уравнений и многих других сложных выражений, поэтому без рациональных дробей делать в старших классах практически нечего.

Формулы для решения задач

Давайте перейдем к делу. Прежде всего, нам потребуется два факта — два комплекта формул. Прежде всего, необходимо знать формулы сокращенного умножения:

• ${{a}{2}}-{{b}{2}}=\left( a-b \right)\left( a+b \right)$ — разность квадратов;
• ${{a}{2}}\pm 2ab+{{b}{2}}={{\left( a\pm b \right)}{2}}$ — квадрат суммы или разности;
• ${{a}{3}}+{{b}{3}}=\left( a+b \right)\left( {{a}{2}}-ab+{{b}{2}} \right)$ — сумма кубов;
• ${{a}{3}}-{{b}{3}}=\left( a-b \right)\left( {{a}{2}}+ab+{{b}{2}} \right)$ — разность кубов.

В чистом виде они ни в каких примерах и в реальных серьезных выражениях не встречаются. Поэтому наша задача состоит в том, чтобы научиться видеть под буквами $a$ и $b$ гораздо более сложные конструкции, например, логарифмы, корни, синусы и т.д. Научиться видеть это можно лишь при помощи постоянной практики. Именно поэтому решать рациональные дроби совершенно необходимо.

Вторая, совершенно очевидная формула — это разложение квадратного трехчлена на множители:

\[a{{x}{2}}+bx+c=0\to a\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{2}} \right)=0\]

${{x}_{1}}$; ${{x}_{2}}$ — корни.

С теоретической частью мы разобрались. Но как решать реальные рациональные дроби, которые рассматриваются в 8 классе? Сейчас мы и потренируемся.

Задача № 1

\[\frac{27{{a}{3}}-64{{b}{3}}}{{{b}{3}}-4}:\frac{9{{a}{2}}+12ab+16{{b}{2}}}{{{b}{2}}+4b+4}\]

Давайте попробуем применить вышеописанные формулы к решению рациональных дробей. Прежде всего, хочу объяснить, зачем вообще нужно разложение на множители. Дело в том, что при первом взгляде на первую часть задания хочется сократить куб с квадратом, но делать этого категорически нельзя, потому что они являются слагаемыми в числителе и в знаменателе, но ни в коем случае не множителями.

Вообще, что такое сокращение? Сокращение — это использование основного правила работы с такими выражениями. Основное свойство дроби заключается в том, что мы можем числитель и знаменатель можем умножить на одно и то же число, отличное от «нуля».

В данном случае, когда мы сокращаем, то, наоборот, делим на одно и то же число, отличное от «нуля». Однако мы должны все слагаемые, стоящие в знаменателе, разделить на одно и то же число. Делать так нельзя.

И сокращать числитель со знаменателем мы вправе лишь тогда, когда оба они разложены на множители. Давайте это и сделаем.

Теперь необходимо посмотреть, сколько слагаемых находится в том или ином элементе, в соответствии с этим узнать, какую формулу необходимо использовать.

Преобразуем каждое выражение в точный куб:

\[27{{a}{3}}={{3}{3}}\cdot {{a}{3}}={{\left( 3a \right)}{3}}\]

\[64{{b}{3}}={{4}{3}}\cdot {{b}{3}}={{\left( 4b \right)}{3}}\]

Перепишем числитель:

\[{{\left( 3a \right)}{3}}-{{\left( 4b \right)}{3}}=\left( 3a-4b \right)\left( {{\left( 3a \right)}{2}}+3a\cdot 4b+{{\left( 4b \right)}{2}} \right)\]

Давайте посмотрим на знаменатель. Разложим его по формуле разности квадратов:

\[{{b}{2}}-4={{b}{2}}-{{2}{2}}=\left( b-2 \right)\left( b+2 \right)\]

Теперь посмотрим на вторую часть выражения:

Числитель:

\[9{{a}{2}}+12ab+16{{b}{2}}={{\left( 3a \right)}{2}}+3a\cdot 4b+{{\left( 4b \right)}{2}}\]

Осталось разобраться со знаменателем:

\[{{b}{2}}+2\cdot 2b+{{2}{2}}={{\left( b+2 \right)}{2}}\]

Давайте перепишем всю конструкцию с учетом вышеперечисленных фактов:

\[\frac{\left( 3a-4b \right)\left( {{\left( 3a \right)}{2}}+3a\cdot 4b+{{\left( 4b \right)}{2}} \right)}{\left( b-2 \right)\left( b+2 \right)}\cdot \frac{{{\left( b+2 \right)}{2}}}{{{\left( 3a \right)}{2}}+3a\cdot 4b+{{\left( 4b \right)}{2}}}=\]

\[=\frac{\left( 3a-4b \right)\left( b+2 \right)}{\left( b-2 \right)}\]

Нюансы умножения рациональных дробей

Ключевой вывод из этих построений следующий:

• Далеко не каждый многочлен раскладывается на множители.
• Даже если он и раскладывается, необходимо внимательно смотреть, по какой именно формуле сокращенного умножения.

Для этого, во-первых, нужно оценить, сколько всего слагаемых (если их два, то все, что мы можем сделать, то это разложить их либо по сумме разности квадратов, либо по сумме или разности кубов; а если их три, то это, однозначно, либо квадрат суммы, либо квадрат разности). Очень часто бывает так, что или числитель, или знаменатель вообще не требует разложения на множители, он может быть линейным, либо дискриминант его будет отрицательным.

Задача № 2

\[\frac{3-6x}{2{{x}{2}}+4x+8}\cdot \frac{2x+1}{{{x}{2}}+4-4x}\cdot \frac{8-{{x}{3}}}{4{{x}{2}}-1}\]

В целом, схема решения этой задачи ничем не отличается от предыдущей — просто действий будет больше, и они станут разнообразнее.

Начнем с первой дроби: посмотрим на ее числитель и сделаем возможные преобразования:

\[3-6x=3\left( 1-2x \right)\]

Теперь посмотрим на знаменатель:

\[2{{x}{2}}+4x+8=2\left( {{x}{2}}+2x+4 \right)\]

Со второй дробью: в числителе вообще ничего нельзя сделать, потому что это линейное выражение, и вынести из него какой-либо множитель нельзя. Посмотрим на знаменатель:

\[{{x}{2}}-4x+4={{x}{2}}-2\cdot 2x+{{2}{2}}={{\left( x-2 \right)}{2}}\]

Идем к третьей дроби. Числитель:

\[8-{{x}{3}}={{2}{3}}-{{x}{3}}=\left( 2-x \right)\left( {{2}{2}}+2\cdot x+{{x}{2}} \right)\]

Разберемся со знаменателем последней дроби:

\[4{{x}{2}}-1={{\left( 2x \right)}{2}}-{{1}{2}}=\left( 2x-1 \right)\left( 2x+1 \right)\]

Перепишем выражение с учетом вышеописанных фактов:

\[\frac{3\left( 1-2x \right)}{2\left( {{x}{2}}+2x+4 \right)}\cdot \frac{2x+1}{{{\left( x-2 \right)}{2}}}\cdot \frac{\left( 2-x \right)\left( {{2}{2}}+2x+{{x}{2}} \right)}{\left( 2x-1 \right)\left( 2x+1 \right)}=\]

\[=\frac{-3}{2\left( 2-x \right)}=-\frac{3}{2\left( 2-x \right)}=\frac{3}{2\left( x-2 \right)}\]

Нюансы решения

Как видите, далеко не все и не всегда упирается в формулы сокращенного умножения — иногда просто достаточно вынести за скобки константу или переменную.

Однако бывает и обратная ситуация, когда слагаемых настолько много или они так построены, что формулы сокращенного умножения к ним вообще невозможно.

В этом случае к нам на помощь приходит универсальный инструмент, а именно, метод группировки. Именно это мы сейчас и применим в следующей задаче.

Задача № 3

\[\frac{{{a}{2}}+ab}{5a-{{a}{2}}+{{b}{2}}-5b}\cdot \frac{{{a}{2}}-{{b}{2}}+25-10a}{{{a}{2}}-{{b}{2}}}\]

Разберем первую часть:

\[{{a}{2}}+ab=a\left( a+b \right)\]

\[5a-{{a}{2}}+{{b}{2}}-5b=5\left( a-b \right)-\left( {{a}{2}}-{{b}{2}} \right)=\]

\[=5\left( a-b \right)-\left( a-b \right)\left( a+b \right)=\left( a-b \right)\left( 5-1\left( a+b \right) \right)=\]

\[=\left( a-b \right)\left( 5-a-b \right)\]

Давайте перепишем исходное выражение:

\[\frac{a\left( a+b \right)}{\left( a-b \right)\left( 5-a-b \right)}\cdot \frac{{{a}{2}}-{{b}{2}}+25-10a}{{{a}{2}}-{{b}{2}}}\]

Теперь разберемся со второй скобкой:

\[{{a}{2}}-{{b}{2}}+25-10a={{a}{2}}-10a+25-{{b}{2}}=\left( {{a}{2}}-2\cdot 5a+{{5}{2}} \right)-{{b}{2}}=\]

\[={{\left( a-5 \right)}{2}}-{{b}{2}}=\left( a-5-b \right)\left( a-5+b \right)\]

Так как два элемента не получилось сгруппировать, то мы сгруппировали три. Осталось разобраться лишь со знаменателем последней дроби:

\[{{a}{2}}-{{b}{2}}=\left( a-b \right)\left( a+b \right)\]

Теперь перепишем всю нашу конструкцию:

\[\frac{a\left( a+b \right)}{\left( a-b \right)\left( 5-a-b \right)}\cdot \frac{\left( a-5-b \right)\left( a-5+b \right)}{\left( a-b \right)\left( a+b \right)}=\frac{a\left( b-a+5 \right)}{{{\left( a-b \right)}{2}}}\]

Задача решена, и больше ничего упростить здесь нельзя.

Задача № 4

\[\left( {{x}{2}}+\frac{27}{x} \right)\cdot \left( \frac{1}{x+3}+\frac{1}{{{x}{2}}-3x+9} \right)\]

Давайте выпишем первую дробь и попытаемся разобраться с ней отдельно:

\[{{x}{2}}+\frac{27}{x}=\frac{{{x}{2}}}{1}+\frac{27}{x}=\frac{{{x}{3}}}{x}+\frac{27}{x}=\frac{{{x}{3}}+27}{x}=\frac{{{x}{3}}+{{3}{3}}}{x}=\]

\[=\frac{\left( x+3 \right)\left( {{x}{2}}-3x+9 \right)}{x}\]

Переходим ко второй. Сразу посчитаем дискриминант знаменателя:

\[D=9-4\cdot 9

Источник: https://www.berdov.com/docs/rational/sokrashenie-racionalnih-drobey/